Câu 1 (7,0 điểm) Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện
$$f(yf(x-y))=f(xf(y))-2025y^2,\forall x,y\in \mathbb{R}.$$
1) Chứng minh rằng $f(x)$ là đơn ánh và $f(x)$ là hàm số lẻ.
2) Tìm tất cả các hàm số $f$ thoả mãn điều kiện trên.

Cho hàm số f(x) liên tục, có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn f(0)=0, f'(0)≠0, (3x²+x)f'(x)−18x²=f(x)[f'(x)−6x−1] với ∀x∈ℝ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f²(x) và y=f(x) bằng

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đồng thời thỏa mãn điều kiện f ( 0 )  0 và
 f ( x ) + 6 x3 − 2 f ( x ) + 9 x6 = 4 x 4 + 6 x3 + 12 x 2 + 8, x  . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá

( )
trị nhỏ nhất của hàm số y = f x + 1 − x 2 trên đoạn  −1;1 . Khi đó, tổng M + m bằng

Câu 2 (4 điểm). Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$ thỏa mãn
$$f(xy+f(x))+f(y)=xf(y)+f(x+y),\forall x,y\in \mathbf{R}.$$

(1 điểm) Tìm tất cả các đa thức thỏa $(x-8)P(x+1)=8(x-1)P(x)\forall x\in \mathbb{R}$.

(5 điểm) a) Tồn tại hay không một song ánh $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ thỏa mãn $f(2f(n))=2n+3,\forall n\in \mathbb{Z}$?
b) Tồn tại hay không một song ánh $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ thỏa mãn $f(2f(n))=2n+3,\forall n\in \mathbb{N}$?

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$f\left(yf(x+y)+f(x)\right)=4x+2yf(x+y),\forall x,y\in \mathbb{R}.$$