Biết ${\sin }^3\alpha -3\sin \alpha +2=0$ $(0^{\circ }<\alpha <90^{\circ })$. Tính $P=\sqrt{3}\tan \alpha +\sqrt{3}\cot \alpha$.

Số nghiệm của phương trình $\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1$ với $-\pi \le x\le 5\pi$ là

Trong một thí nghiệm, một quả cầu được gắn vào một đầu dây đàn hồi, đầu kia của sợi dây được gắn cố định vào một thanh treo nằm ngang. Sau khi quả cầu được kéo xuống và thả ra, quả cầu bắt đầu di chuyển lên xuống, chiều cao $h$ (tính bằng cm) của quả cầu so với mặt đất được cho bởi công thức $h=100-30\cos 20t$, trong đó $t$ là thời gian (tính bằng giây) kể từ lúc bắt đầu thả quả cầu. Hỏi thời điểm đầu tiên là bao nhiêu giây tính từ lúc bắt đầu thả thì quả cầu đạt chiều cao lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Phương trình $\cos x=\cos \frac{\pi }{6}$ có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $\left(0;2\pi \right)$?

Cho phương trình $\sqrt{3}\tan 2x-3=0$ (1).

Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu $h(m)$ của mực nước trong kênh tính theo thời gian $t$ (giờ) trong một ngày $\left(0\le t<24\right)$ cho bởi công thức

$$h=3\cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)+12$$ (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2021). Biết rằng vào các thời điểm $t_1$, $t_2$, $t_3$, $t_4$ giờ độ sâu của mực nước là 10,5 m ($t_1$, $t_2$, $t_3$, $t_4$ làm tròn đến hàng phần trăm). Tính giá trị $T=t_1+t_2+t_3+t_4$ (T làm tròn đến hàng phần chục).

Giải các phương trình sau:

a) $\cos x=-\frac{1}{2}$;

b) $\sin x=\frac{1}{2}$.