Biết ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=10$ và ${\int }_1^{3}g(x)\mathrm{d}x=5$. Giá trị của tích phân $I={\int }_1^3(3f(x)-5g(x))\mathrm{d}x$ là

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, diện tích $S$ của phần gạch chéo trong hình ảnh bên dưới, được tính theo công thức nào sau đây?

Biết $F(x)=x^3$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Giá trị của ${\int }_1^2[2+f(x)]dx$ bằng

Một biển quảng cáo có dạng hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $4\text{ m}$ và $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $CD$. Trên tấm biển đó có đường parabol đỉnh $I$ đi qua $A,B$ và cắt đường chéo $BD$ tại $M$ (tham khảo hình vẽ).

Chi phí sơn phần tô hình tổ ong (có diện tích $S_1$) là $200000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, chi phí sơn phần tô đậm (có diện tích $S_2$) là $150000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$ và phần còn lại là $120000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Số tiền cần chi trả để sơn tấm biển quảng cáo là bao nhiêu nghìn đồng?

Cho hàm số $f(x)$ liên tục có đạo hàm liên tục trên đoạn $[0;1]$ và $f(1)-f(0)=2$. Tính tích phân $I={\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx$

Cho ${\int }_{-1}^{2}f(x)dx=2$; ${\int }_{-1}^{7}f(x)dx=9$. Giá trị của ${\int }_2^{7}f(x)dx$ là:

Biết rằng ${\int }_1^{e}x\ln xdx=a{e}^2+b,a,b\in \mathbb{Q}$. Tính $a+b$.