Bài 5. (7 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$ có trực tâm $H$ và $M$ là trung điểm của $AH$. Gọi $(O_1),(O_2)$ là các đường tròn đi qua $H$ và lần lượt tiếp xúc với $BC$ ở $B,C$. Gọi $X,Y$ lần lượt là tâm các đường tròn bàng tiếp góc $H$ của hai tam giác $HM{O}_1,HM{O}_2$.

a) Chứng minh rằng $XY$ song song với $O_1{O}_2$.

b) Giả sử $O_1{O}_2$ cắt $BC$ ở $T$. Đường tròn $(MOT)$ cắt $OH$ tại $K$ khác $O$. Chứng minh rằng tâm của đường tròn $(AOK)$ nằm trên một đường trung bình của tam giác $ABC$.