Kiểm Tra Khảo Sát Chọn Học Sinh HSG Quốc Gia Toán 2025-2026 - Ngày 26/08/2025

Cho tập $S=\{1,2,...,2025\}$ và $A_1,A_2,...,A_k$ là các tập con của $S$ sao cho với mọi $1\le i<j\le k$ có đúng một trong các tập $A_i\cap A_j,A_i^{\prime }\cap A_j,A_i\cap A_j^{\prime },A_i^{\prime }\cap A_j^{\prime }$ là tập rỗng. Tìm giá trị lớn nhất có thể có của $k$.
(Với $A\subset S$, ký hiệu $A^{\prime }$ là phần bù của tập $A$ trong tập $S$).

Bài 5. (7 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$ có trực tâm $H$ và $M$ là trung điểm của $AH$. Gọi $(O_1),(O_2)$ là các đường tròn đi qua $H$ và lần lượt tiếp xúc với $BC$ ở $B,C$. Gọi $X,Y$ lần lượt là tâm các đường tròn bàng tiếp góc $H$ của hai tam giác $HM{O}_1,HM{O}_2$.

a) Chứng minh rằng $XY$ song song với $O_1{O}_2$.

b) Giả sử $O_1{O}_2$ cắt $BC$ ở $T$. Đường tròn $(MOT)$ cắt $OH$ tại $K$ khác $O$. Chứng minh rằng tâm của đường tròn $(AOK)$ nằm trên một đường trung bình của tam giác $ABC$.

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên sao cho tồn tại số $M$ để $n^{n-1}-1$ chia hết cho $P(n)$ với mọi $n\in \mathbb{N},n\ge M$.