a) Cho $\cos x=\frac{2}{3}$ với $-\pi <x<0$. Tính $\cot x;\tan \left(\frac{\pi }{3}-x\right)$

b) Giải phương trình $\sin \left(60^{\circ }-\frac{2x}{3}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1a) Vì $-\pi <x<0$ và $\cos x=\frac{2}{3}>0$ nên $x$ thuộc góc phần tư thứ IV, do đó $\sin x<0$: $\sin x=-\sqrt{1-\frac{4}{9}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$.
Suy ra $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{2/3}{-\sqrt{5}/3}=-\frac{2}{\sqrt{5}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$, và $\tan x=-\frac{\sqrt{5}}{2}$.
Áp dụng công thức: $\tan \left(\frac{\pi }{3}-x\right)=\frac{\tan \frac{\pi }{3}-\tan x}{1+\tan \frac{\pi }{3}\tan x}=\frac{\sqrt{3}+\frac{\sqrt{5}}{2}}{1-\frac{\sqrt{15}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2-\sqrt{15}}$.
Nhân với liên hợp $(2+\sqrt{15})$: tử số $(2\sqrt{3}+\sqrt{5})(2+\sqrt{15})=4\sqrt{3}+6\sqrt{5}+2\sqrt{5}+5\sqrt{3}=9\sqrt{3}+8\sqrt{5}$; mẫu $4-15=-11$.
Vậy $\tan \left(\frac{\pi }{3}-x\right)=-\frac{9\sqrt{3}+8\sqrt{5}}{11}$.

Câu 1b) $\sin \left(60^{\circ }-\frac{2x}{3}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin (-45^{\circ })$.
Trường hợp 1: $60^{\circ }-\frac{2x}{3}=-45^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }\Rightarrow \frac{2x}{3}=105^{\circ }-k\cdot 360^{\circ }\Rightarrow x=157,5^{\circ }+k\cdot 540^{\circ }=\frac{7\pi }{8}+k\cdot 3\pi$.
Trường hợp 2: $60^{\circ }-\frac{2x}{3}=225^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }\Rightarrow \frac{2x}{3}=-165^{\circ }-k\cdot 360^{\circ }\Rightarrow x=-247,5^{\circ }+k\cdot 540^{\circ }=292,5^{\circ }+k\cdot 540^{\circ }=\frac{13\pi }{8}+k\cdot 3\pi$.
Kiểm tra: với $x=\frac{7\pi }{8}$: $60^{\circ }-\frac{2}{3}\cdot 157,5^{\circ }=60^{\circ }-105^{\circ }=-45^{\circ }$, $\sin (-45^{\circ })=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ✓. Với $x=\frac{13\pi }{8}$: $60^{\circ }-195^{\circ }=-135^{\circ }$, $\sin (-135^{\circ })=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ✓.
Vậy tập nghiệm: $S=\left\{\frac{7\pi }{8}+k\cdot 3\pi ;\frac{13\pi }{8}+k\cdot 3\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$ (hoặc theo độ: $x=157,5^{\circ }+k\cdot 540^{\circ }$ hoặc $x=292,5^{\circ }+k\cdot 540^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$).