a) Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $\sqrt{2}$ và độ dài cạnh $B{A}^{\prime }=\sqrt{6}$. Hãy tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, và khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime }B$, $B^{\prime }C$?

b) Cho tứ diện $OABC$ có các cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc. Gọi $M$ là một điểm bất kỳ thuộc miền trong tam giác $ABC$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\frac{M{A}^2}{O{A}^2}+\frac{M{B}^2}{O{B}^2}+\frac{M{C}^2}{O{C}^2}$

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $AB=3$, $AD=4$. Biết đường thẳng $A{C}^{\prime }$ tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ góc $45^{\circ }$. Thể tích khối hộp đã cho bằng

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $AB=3$, $AD=4$. Biết đường thẳng $A{C}^{\prime }$ tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ góc $60^{\circ }$. Thể tích khối hộp đã cho bằng

Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác $ABC$ với $AB=a$; $AC=2a$; $\widehat{BAC}=30^0$ chiều cao $h=3a$. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác $ABC$ với $AB=a$; $AC=2a$; $\widehat{BAC}=30^0$ chiều cao $h=3a$. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Khối lăng trụ có chiều cao bằng 6, diện tích đáy bằng 10 có thể tích bằng

Lồng đèn kéo quân là một kiểu đèn trung thu cổ truyền ở Việt Nam (phổ biến ở miền Bắc và Bắc Trung Bộ). Chiếc lồng đèn kéo quân không chỉ là một món đồ chơi, mà còn là một tác phẩm nghệ thuật dân gian, gắn liền với tuổi thơ của biết bao thế hệ.
Trong hình là một chiếc lồng đèn kéo quân có dạng lăng trụ lục giác đều. Khi gắn chiếc lồng đèn này vào hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ với gốc tọa độ $O$ trùng với tâm của một lục giác đều, tia $Ox$ đi qua trung điểm một cạnh lục giác, tia $Oy$ đi qua một đỉnh lục giác đó, tia $Oz$ đi qua tâm của lục giác còn lại, đơn vị trục là cm; người ta có được $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\left(10\sqrt{3};20;50\right)$, trong đó $AB$ là một cạnh bên của lăng trụ, $BC$ là một cạnh đáy của lăng trụ. Hỏi thể tích của chiếc lồng đèn này là bao nhiêu cm³ (làm tròn đến hàng đơn vị, bỏ qua độ dày của các vật liệu bao quanh)?