a) Cho các số thực không âm $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $a+b+c=2$. Chứng minh rằng $$a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2\le 1.$$

b) Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực dương thỏa mãn $x\left(y^2+z^2\right)=y+z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=\frac{1}{(1+x{)}^2}+\frac{1}{(1+y{)}^2}+\frac{1}{(1+z{)}^2}+\frac{4}{(1+x)(1+y)(1+z)}.$$

Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=x^3-3x+2$ trên đoạn $[-3;3]$ bằng

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Một vận động viên thể thao hai môn phối hợp luyện tập với một bể bơi hình chữ nhật rộng $400m$, dài $800m$.



Vận động viên chạy phối hợp với bơi như sau: Xuất phát từ điểm $A$, chạy đến điểm $X$ và bơi từ điểm $X$ đến điểm $C$ (Hình vẽ). Hỏi nên chọn điểm $X$ cách $A$ bằng bao nhiêu mét để vận động viên đến $C$ nhanh nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Biết rằng vận tốc chạy là 30 km/h, vận tốc bơi là 6 km/h.

Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=x^3-3x^2-9x+10$ trên đoạn $[-2;2]$ bằng

Trong công viên có một hồ nước hình bán nguyệt với đường kính $PR=3$ km. Từ vị trí điểm $P$ anh Minh chèo một chiếc thuyền với vận tốc 3 km/h thẳng đến vị trí điểm $Q$ trên bờ hồ, rồi đi bộ theo bờ hồ đến vị trí điểm $R$ với vận tốc 6 km/h (hình vẽ). Thời gian tối đa để anh Minh di chuyển từ $P$ đến $R$ theo cách đó là bao nhiêu giờ (giả sử thời gian đổi thuyền là không đáng kể và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Một nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B, nhà máy A chỉ bán sản phẩm cho nhà máy B và nhà máy B cam kết thu mua hết số sản phẩm mà nhà máy A sản xuất được. Nhà máy A có khả năng sản xuất được tối đa 200 tấn sản phẩm trong 1 tháng. Nếu bán ra $x$ tấn sản phẩm cho nhà máy B thì giá bán mỗi tấn sản phẩm là $50-0,0002x^2$ triệu đồng. Mỗi tháng nhà máy A phải trả chi phí cho nhân công và khấu hao máy móc một lượng cố định là 150 triệu đồng, ngoài ra chi phí mua nguyên liệu để sản xuất một tấn sản phẩm là 35 triệu đồng. Giả sử nhà máy A phải nộp $6\%$ doanh thu cho cơ quan thuế. Lợi nhuận sau thuế lớn nhất thu được trong 1 tháng của nhà máy A là bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, lợi nhuận sau thuế là lợi nhuận sau khi trừ tiền thuế)?