(5,00 điểm)
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left(xy+f(x^2)-x^2\right)=xf(y)$ với mọi $x,y\in \mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $P(x,y)$ là mệnh đề $f\left(xy+f(x^2)-x^2\right)=xf(y)$.

**Bước 1: $f(0)=0$.** Với $P(x,0)$: $f\left(f(x^2)-x^2\right)=xf(0)$. Vế trái không đổi khi thay $x$ bởi $-x$, nên $xf(0)=-xf(0)$ với mọi $x$, suy ra $f(0)=0$. Khi đó $P(x,0)$ cho $f\left(f(x^2)-x^2\right)=0$ với mọi $x$. Hàm $f\equiv 0$ thỏa mãn; dưới đây giả sử $f$ không đồng nhất $0$.

**Bước 2: $f$ toàn ánh.** Vì $f$ không đồng nhất $0$, tồn tại $x_0\ne 0$ với $f(y_0)\ne 0$ với $y_0$ nào đó; với $x\ne 0$ cố định, khi $y$ chạy khắp $\mathbb{R}$ thì $xy+f(x^2)-x^2$ chạy khắp $\mathbb{R}$, nên $f(t)=xf\left(\frac{t-f(x^2)+x^2}{x}\right)$ cho thấy $f$ toàn ánh.

**Bước 3: $f(1)=1$.** $P(1,y)$: $f(y+f(1)-1)=f(y)$, tức $f$ có chu kỳ $c=f(1)-1$. Với chu kỳ $c$: $P(x,y+c)$ cho $f\left(xy+xc+f(x^2)-x^2\right)=xf(y+c)=xf(y)=f\left(xy+f(x^2)-x^2\right)$, tức $f(t+xc)=f(t)$ với mọi $t,x$. Nếu $c\ne 0$ thì mọi số thực đều là chu kỳ của $f$, suy ra $f$ hằng, mâu thuẫn với $f(0)=0$ và $f$ không đồng nhất $0$. Vậy $c=0$, tức $f(1)=1$.

**Bước 4: $f$ lẻ.** $P(x,y)$ và $P(-x,y)$ (chú ý $f(x^2)-x^2$ như nhau): $f\left(2(f(x^2)-x^2)-t\right)=-f(t)$ với $t=xy+f(x^2)-x^2$. Với $x=1$: $f(1)-1=0$ nên $f(-t)=-f(t)$: $f$ lẻ.

**Bước 5: $f(x^2)=x^2$.** Từ Bước 4, với mọi $x$: $f\left(2(f(x^2)-x^2)+s\right)=f(s)$, tức $p_x=2(f(x^2)-x^2)$ là chu kỳ của $f$. Nếu tồn tại $x$ với $p_x\ne 0$, lặp lại lập luận Bước 3 (thay $y$ bởi $y+p_x$ trong $P$) được $f(t+u{p}_x)=f(t)$ với mọi $u,t$, mọi số thực là chu kỳ, $f$ hằng, mâu thuẫn. Vậy $f(x^2)=x^2$ với mọi $x$, tức $f(t)=t$ với mọi $t\ge 0$.

**Bước 6: Kết luận.** Phương trình trở thành $f(xy)=xf(y)$. Với $y>0$, $x>0$: $xy=xf(y)$ (vì $f(xy)=xy$), suy ra $f(y)=y$ với $y>0$. Kết hợp $f$ lẻ: $f(x)=x$ với mọi $x$.

**Kiểm tra:** $f\equiv 0$: hai vế đều $0$. $f(x)=x$: vế trái $=xy+x^2-x^2=xy=$ vế phải. Cả hai đều thỏa mãn.