Đề Thi Học Sinh Giỏi Cấp Tỉnh Khánh Hòa 2026-2027 - Môn Toán (Vòng 2) - Đề Số 2

(4,00 điểm)
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=-2$ và $u_{n+1}=\frac{u_n}{1-u_n}$, với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
a) Chứng minh $u_n<0$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
b) Đặt $v_n=\frac{u_n+1}{u_n}$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Chứng minh $(v_n)$ là cấp số cộng và tính $\lim u_n$.

(5,00 điểm)
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left(xy+f(x^2)-x^2\right)=xf(y)$ với mọi $x,y\in \mathbb{R}$.

(6,00 điểm)
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân có trực tâm $H$ và nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Điểm $R$ thay đổi trên cung lớn $BC$ của đường tròn $(O)$ sao cho $AR$ không song song với $BC$. Trên đường thẳng $BC$ lấy hai điểm $S,T$ phân biệt sao cho đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ARS$ và $ART$ cùng tiếp xúc với $BC$. Các đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AS$ và $AT$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$ tại điểm thứ hai theo thứ tự là $M$ và $N$. Chứng minh:
a) Đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định.
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $RST$ di chuyển trên một đường thẳng cố định.

(5,00 điểm)
Một công ty tổ chức đánh giá năng lực chuyên môn cho 250 công nhân bằng cách giao 5 nhiệm vụ trong một dây chuyền có 5 nhiệm vụ chuyên môn khác nhau. Kết quả cho thấy mỗi nhiệm vụ đều được ít nhất 170 công nhân hoàn thành. Chứng minh rằng luôn tìm được hai công nhân sao cho xét chung cả hai người mọi nhiệm vụ trong số 5 nhiệm vụ trên đều có ít nhất một người hoàn thành.