(5,00 điểm)
Cho dãy số nguyên dương $(u_n)$ không là dãy hằng và thỏa mãn $(u_m-u_n)$ chia hết cho $(m-n)$, với mọi số nguyên dương $m,n$ phân biệt. Chứng minh rằng tập hợp các số nguyên tố xuất hiện trong các phân tích thừa số nguyên tố của các số hạng của dãy số $(u_n)$ là vô hạn.

(AI giải đề cho tôi) Giả sử phản chứng: chỉ có hữu hạn số nguyên tố $p_1,\dots ,p_k$ xuất hiện trong các phân tích thừa số nguyên tố của các $u_n$. Chọn các số mũ $a_i$ sao cho $a_i>v_{p_i}(u_1)$ và $p_i^{a_i}>u_1$ với mọi $i$, đặt $P=p_1^{a_1}\dots p_k^{a_k}$. Vì dãy không hằng, tồn tại $m$ với $g=u_m-u_1\ne 0$. Với mọi $n\equiv 1(\mathrm{mod}P)$, $n>m+|g|$, ta có: (1) $u_n\equiv u_1(\mathrm{mod}n-1)$ nên $u_n\equiv u_1(\mathrm{mod}{p}_i^{a_i})$ với mọi $i$; vì các thừa số nguyên tố của $u_n$ đều thuộc $\{p_1,\dots ,p_k\}$, so sánh số mũ suy ra $u_n=u_1$. (2) Mặt khác $u_n\equiv u_m(\mathrm{mod}n-m)$ nên $n-m\mid u_1-u_m=-g$, tức $|n-m|\le |g|$, mâu thuẫn với $n>m+|g|$. Vậy tập các số nguyên tố xuất hiện là vô hạn.