(5,00 điểm)
a) Giải phương trình: $4x^4+8x^3-3x^2-\frac{13}{2}x-1=0$.
b) Cho tam giác $ABC$ không cân. Gọi $A,B,C$ là số đo theo đơn vị radian của các góc đỉnh $A$, $B$, $C$. Ta kí hiệu $BC=a,CA=b,AB=c$. Chứng minh:
$$\frac{A\sin A+B\sin B}{\sin A+\sin B}+\frac{B\sin B+C\sin C}{\sin B+\sin C}+\frac{C\sin C+A\sin A}{\sin C+\sin A}>\pi .$$

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 1a.** Nhân hai vế với 2, phương trình tương đương $$8x^4+16x^3-6x^2-13x-2=0.$$ Thử $x=-2$: $128-128-24+26-2=0$, nên $x=-2$ là nghiệm. Sơ đồ Horner với $-2$ trên hàng hệ số $8;16;-6;-13;-2$ cho thương $8x^3+0x^2-6x-1$ và số dư $0$. Vậy $$8x^4+16x^3-6x^2-13x-2=(x+2)(8x^3-6x-1).$$ Xét $8x^3-6x-1=0$. Hàm $g(x)=8x^3-6x-1$ có $g^{\prime }(x)=24x^2-6=0\iff x=\pm \frac{1}{2}$; $g(-\frac{1}{2})=1>0$, $g(\frac{1}{2})=-3<0$, $g(-2)=-53<0$, $g(2)=51>0$, nên phương trình có ba nghiệm thực phân biệt, tất cả nằm trong $(-2;2)$. Đặt $x=\sqrt{3}\cos t$ (khả thi vì $|x|<2\sqrt{3}$). Khi đó, theo công thức $\cos 3t=4{\cos }^{3}t-3\cos t$: $$8x^3-6x=8\cdot 3\sqrt{3}{\cos }^{3}t-6\sqrt{3}\cos t=6\sqrt{3}\left(4{\cos }^{3}t-3\cos t\right)=6\sqrt{3}\cos 3t.$$ Phương trình trở thành $6\sqrt{3}\cos 3t=1$, tức $\cos 3t=\frac{1}{6\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{18}$. Vậy ba nghiệm thực là $$x_k=\sqrt{3}\cos \left(\frac{1}{3}\arccos \frac{\sqrt{3}}{18}-\frac{2k\pi }{3}\right),k=0,1,2.$$ Tập nghiệm: $$S=\left\{-2;\sqrt{3}\cos \left(\frac{1}{3}\arccos \frac{\sqrt{3}}{18}-\frac{2k\pi }{3}\right),k=0,1,2\right\}.$$ **Câu 1b.** Với mỗi cặp $(X,Y)\in \{(A,B),(B,C),(C,A)\}$, viết $$X\sin X+Y\sin Y=\frac{X+Y}{2}(\sin X+\sin Y)+\frac{X-Y}{2}(\sin X-\sin Y).$$ Do đó $$\frac{X\sin X+Y\sin Y}{\sin X+\sin Y}=\frac{X+Y}{2}+\frac{X-Y}{2}\cdot \frac{\sin X-\sin Y}{\sin X+\sin Y}.$$ Cộng theo chu kỳ, phần $\frac{X+Y}{2}$ cho tổng $\frac{(A+B)+(B+C)+(C+A)}{2}=A+B+C=\pi$. Vậy tổng cần xét bằng $\pi +T$, với $$T=\frac{1}{2}\sum _{\text{cyc}}(X-Y)\frac{\sin X-\sin Y}{\sin X+\sin Y}.$$ Ta chứng minh $T>0$. Với $0<X,Y<\pi$ và $X+Y<\pi$ (đúng vì góc còn lại của tam giác dương), ta có $$\sin X-\sin Y=2\cos \frac{X+Y}{2}\sin \frac{X-Y}{2},\sin X+\sin Y=2\sin \frac{X+Y}{2}\cos \frac{X-Y}{2}>0.$$ Vì $0<\frac{X+Y}{2}<\frac{\pi }{2}$ nên $\cos \frac{X+Y}{2}>0$; hơn nữa $\sin \frac{X-Y}{2}$ cùng dấu với $X-Y$ (vì $|X-Y|<\pi$). Suy ra $\frac{\sin X-\sin Y}{\sin X+\sin Y}$ cùng dấu với $X-Y$, tức mỗi số hạng $$\frac{X-Y}{2}\cdot \frac{\sin X-\sin Y}{\sin X+\sin Y}>0$$ vì tam giác không cân nên $X\ne Y$ với mọi cặp. Vậy $T>0$ và $$\frac{A\sin A+B\sin B}{\sin A+\sin B}+\frac{B\sin B+C\sin C}{\sin B+\sin C}+\frac{C\sin C+A\sin A}{\sin C+\sin A}>\pi .$$ $■$