(4,0 điểm)
a. Cho tập hợp $A=\{1;2;3;4;5;6\}$. Gọi $S$ là tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập $A$. Chọn ngẫu nhiên một số từ $S$, tính xác suất để số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu.
b. Mỗi đỉnh của một ngôi sao năm cánh được sơn một màu. Có 6 màu khác nhau để lựa chọn và hai đỉnh của mỗi cạnh phải có màu khác nhau (Hình minh họa phía dưới). Có bao nhiêu cách tô màu cho các đỉnh của ngôi sao đó ?

a. Gọi số cần tìm của tập $S$ có dạng $\overline{abc}$. Trong đó $\{\begin{array}{l}a,b,c\in A\\ a\ne b;b\ne c;c\ne a\end{array}$.
Mỗi số có 3 chữ số khác nhau được lập từ tập A là một chỉnh hợp chập 3 của 6. Nên có: $A_6^3=120$ số $\Rightarrow n(\Omega )=120$
Gọi $X$ là biến cố "Số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu". Khi đó ta có các bộ số là $\overline{1b2}$ hoặc $\overline{2b4}$ hoặc $\overline{3b6}$ thỏa mãn biến cố $X$ và cứ mỗi bộ thì $b$ có 4 cách chọn nên có tất cả 12 số thỏa yêu cầu.
Suy ra số phần tử của biến cố $X$ là $n(X)=12$.
Vậy xác suất cần tính $P(X)=\frac{n(X)}{n(\Omega )}=\frac{1}{10}$

b.
Để thuận tiện ta gọi 6 màu khác nhau tương ứng là: 1;2;3;4;5;6
Tại đỉnh $A_i$ ta điền $x_i\in 1;2;3;4;5;6$
Điều kiện:
$$\{\begin{array}{ll}{x}_{i+1}\ne x_i;i\in 1;2;3;4& (1)\\ x_1\ne x_5& (2)\end{array}$$

Số cách thỏa mãn điều kiện (1) là: 6.5.5.5.5 = $6.5^4$
Giờ ta tìm điền thỏa mãn điều kiện (1) Nhưng không thỏa mãn điều kiện (2)
Viết lại chuỗi số có dạng: $x_1{x}_2{x}_3{x}_4{x}_1$
Bước 1: Chọn $x_1$ có 6 lựa chọn
Bước 2: Chọn các vị trí còn lại
+ Nếu $x_2=x_4$ thì có 5 lựa chọn cho $x_2;x_4$ và 5 lựa chọn cho $x_3$
+ Nếu $x_2\ne x_4$ thì có 5 lựa chọn cho $x_2$ và 4 lựa chọn cho $x_4$ và 4 lựa chọn cho $x_3$
Vậy số cách điền thỏa mãn điều kiện (1) Nhưng không thỏa mãn điều kiện (2)
Là : 6.5.5 + 6.5.4.4
Vậy số cách sơn màu thỏa mãn là: $6.5^4-(\mathrm{6.5.5}+\mathrm{6.5.4.4})=3120$
Chú ý: Nếu học sinh giải cách khác đúng thì cho điểm tối đa của ý đó