Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 11 THPT Số 1 Lê Hồng Phong

(4,0 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a. $\sin x-\sqrt{3}\cos x=2$
b. $$\{\begin{array}{l}2x^2-3x+2=y^2\\ 2y^2-3y+2=x^2\end{array}$$

(4,0 điểm)
a. Chứng minh rằng nếu $△ABC$ thỏa mãn điều kiện $\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C+1=0$ thì tam giác đó là tam giác vuông.
b. Cho hai đường tròn $(O;R)$ và $(O^{\prime };R^{\prime })$ với $R<R^{\prime }$, cắt nhau tại $A$ và $B$ sao cho $\widehat{OA{O}^{\prime }}=90^{\circ }$. Đường thẳng $O{O}^{\prime }$ cắt đường tròn $(O;R)$ tại $C,D$ và cắt đường tròn $(O^{\prime };R^{\prime })$ tại $E,F$ sao cho các điểm $C,O,E,D,O^{\prime },F$ nằm trên đường thẳng theo thứ tự đó. Tia $BE$ cắt đường tròn $(O;R)$ tại $K$ (khác $B$) và cắt đoạn thẳng $AC$ tại $M$. Tia $BD$ cắt đường tròn $(O^{\prime };R^{\prime })$ tại $L$ (khác $B$) và cắt đoạn thẳng $AF$ tại $N$. Chứng minh ba điểm $A,C,L$ thẳng hàng.

(4,0 điểm)
a. Tính giới hạn sau: $L=\lim \left(\sqrt{4n^2+3n-1}-2n\right)$
b. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $u_1=1;u_{n+1}=2u_n+3^n$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tìm công thức số hạng tổng quát $u_n$ theo $n$.

(4,0 điểm)
a. Một cái tháp có 9 tầng. Diện tích của mặt sàn tầng 2 bằng nửa diện tích của mặt đáy tháp và diện tích của mặt sàn mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt sàn mỗi tầng ngay bên dưới. Biết mặt đáy tháp có diện tích là $a$ (m${}^2$). Tính diện tích của mặt sàn tầng trên cùng của tháp theo $a$ (đơn vị mét vuông).
b. Tìm tất cả các cặp số $(x,y)$ nguyên thỏa mãn: $5x^2-4xy+y^2=169$.

(4,0 điểm)
a. Cho tập hợp $A=\{1;2;3;4;5;6\}$. Gọi $S$ là tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập $A$. Chọn ngẫu nhiên một số từ $S$, tính xác suất để số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu.
b. Mỗi đỉnh của một ngôi sao năm cánh được sơn một màu. Có 6 màu khác nhau để lựa chọn và hai đỉnh của mỗi cạnh phải có màu khác nhau (Hình minh họa phía dưới). Có bao nhiêu cách tô màu cho các đỉnh của ngôi sao đó ?