Rút gọn biểu thức $y=\frac{\sin 3x-\sin x}{2{\cos }^{2}x-1}$

Cho đồ thị hàm số $y=\sin x$ như hình vẽ sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tập nghiệm $S$ của phương trình $\sqrt{3}\tan \frac{x}{3}+3=0$.

Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

Cho phương trình lượng giác $2\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\sqrt{3}=0$ (*). Khi đó

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang có $CD$ là đáy lớn và $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. $M$ là trung điểm của $SD$.

Cho $\cot x=2$. Tính giá trị biểu thức $A=\frac{2\sin x+3\cos x}{3\sin x-2\cos x}$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thap ($AD$ là đáy lớn, $BC$ là đáy nhỏ). Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SD$. $K$ là giao điểm của các đường thẳng $AB$ và $CD$, $M$ là giao điểm của đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(CDE)$, $N$ là giao điểm của đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(EFM)$. Cho biết $AD=2BC$. Tỉ số diện tích của hai tam giác $KMN$ và $KEF$ là phân số tối giản $\frac{a}{b}$. Tính $a+b$

Để rèn luyện sức khỏe bạn An tập thể dục vào mỗi buổi sáng và kết hợp chạy bộ trong một khoảng thời gian nhất định của mỗi buổi tập. Số phút chạy bộ của bạn An trong ngày thứ t của một tháng được cho bởi hàm số sau: $f(t)=30+40\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)$, trong đó $f(t)$ tính bằng phút, $t\in \mathbb{Z}$ và $1\le t\le 31$. Bằng cách giải phương trình lượng giác, tính số ngày bạn An chạy bộ được 50 phút.

Tập hợp các giá trị của tham số $m$ để phương trình $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)+2=2m-1$ có nghiệm là $[a;b]$. Khi đó $2a+b$ bằng bao nhiêu?

a) Giải phương trình : $\sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}$
b) Cho góc lượng giác $\alpha$ thỏa mãn $\sin \alpha =\frac{3}{5}$, $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$. Tính $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm của $SA$.
a) Chứng minh : $MO\parallel SC$.
b) Tìm giao điểm $K$ của $SD$ và $(MBC)$.