Từ một miếng tôn dạng nửa hình tròn có bán kính $R=4\text{dm}$, người ta muốn cắt ra một hình chữ nhật. Hỏi diện tích lớn nhất của hình chữ nhật có thể cắt được là bao nhiêu?

Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy $B$. Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng nhà máy $A$ cung cấp cho nhà máy $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của nhà máy $B$. Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán mỗi tấn sản phẩm là $P(x)=45-0,001x^2$ (triệu đồng). Chi phí để nhà máy $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x)=100+30x$ (triệu đồng). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Từ một miếng bìa có độ dài hai cạnh là $0,9m$ và $1,5m$ như hình bên. Bạn Minh cắt đi phần tô màu xám và gấp lại để được một hình hộp chữ nhật. Tìm $x$ để hình hộp tạo thành có thể tích lớn nhất.

Một nhà máy cần sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho thị trường trong nước. Biết rằng chi phí để sản xuất $x$ sản phẩm trong một ngày bao gồm
(1) Chi phí cho công việc hành chính chung là 2500 (nghìn đồng)
(2) Các loại chi phí khác là $\frac{25x^2}{10000}$ (nghìn đồng)
(3) Chi phí sản xuất là $4x$ (nghìn đồng)
Lợi nhuận thu được trên mỗi một sản phẩm được tính bằng giá bán mỗi sản phẩm trừ đi tổng chi phí của mỗi một sản phẩm. Giả sử giá bán mỗi sản phẩm không thay đổi, để lợi nhuận thu được trên mỗi một sản phẩm là lớn nhất, trong một ngày nhà máy cần sản xuất số lượng sản phẩm là

Giả sử đường cao tốc giới hạn hai bên bởi hai đường thẳng song song $a$ và $b$ cách nhau $50m$, phía bên đường thẳng $a$ có một khu chung cư đặt ở vị trí $A$ và cách đường thẳng $a$ là $1,5km$, phía bên đường thẳng $b$ có một khu chung cư đặt ở vị trí $B$ và cách đường thẳng $b$ là $2,5km$. Người ta xây dựng một cây cầu vượt bắc qua đường cao tốc, chân cầu vượt đặt ở vị trí $E\in a$ và $F\in b$ sao cho $EF\perp a$ và độ dài đường $AE+EF+FB$ ngắn nhất. Trên đoạn $AH$ vuông góc với $a$ tại $H$, người ta cần đặt một trạm quan sát tại vị trí $M$ sao cho góc quan sát $\widehat{AME}=120^0$. Trên đoạn $BK$ vuông góc với $b$ tại $K$, người ta cần đặt một trạm quan sát tại vị trí $N$ sao cho góc quan sát $\widehat{BNF}=120^0$, biết $HE+FK=3km$. Tính khoảng cách $AM$ và $BN$.

Một hồ bơi có hình dạng như phần tô đậm trong hình vẽ bên. Bờ cong của hồ là một phần của đồ thị hàm số bậc ba.

Biết $AB=DE=20m,AE=40m,AH=30m,AK=10m$. Một vận động viên xuất phát từ một vị trí bất kỳ trên bờ cong của hồ để bơi đến bờ $AE$ với vận tốc không đổi theo phương vuông góc với bờ $AE$. Trong tất cả các đường bơi này, nếu thời gian để thực hiện đường bơi ngắn nhất là 5 giây thì thời gian để thực hiện đường bơi dài nhất là bao nhiêu giây? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Nhà sản xuất sử dụng hết $24\sqrt{3}$ ($d{m}^2$) một loại vật liệu để làm một chiếc lồng đèn có dạng hình lăng trụ tam giác đều. Các mối ghép có kích thước không đáng kể. Tính thể tích lớn nhất của chiếc lồng đèn.