Câu 26HSGChuyên đề: Công thức xác suất toàn phần theo phân hoạch • Lớp 12Xác suất có điều kiện từ bảng hoặc đếmXác suất hậu nghiệm bằng BayesVận dụng cao#secondary:M12.S02.CONDITIONAL_PROB.L3.DEFINITION#secondary:M12.S04.BAYES.L3.POSTERIOR
Trong một trò chơi bốc thăm trúng thưởng có luật chơi như sau: Ban tổ chức chuẩn bị hai hộp chứa các phiếu bốc thăm, hộp I có 10 phiếu đánh số từ 1 đến 10, hộp II có 15 phiếu đánh số từ 11 đến 25. Người chơi bốc 2 phiếu từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai, rồi từ hộp thứ hai người chơi bốc ra 5 phiếu. Nếu tổng bình phương các số trên phiếu bốc được từ hộp thứ hai là một số chia hết cho 4 thì trúng thưởng. Bạn Khánh An là người đầu tiên chơi
Trong một trò chơi bốc thăm trúng thưởng có luật chơi như sau: Ban tổ chức chuẩn bị hai hộp chứa các phiếu bốc thăm, hộp I có 10 phiếu đánh số từ 1 đến 10, hộp II có 15 phiếu đánh số từ 11 đến 25. Người chơi bốc 2 phiếu từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai, rồi từ hộp thứ hai người chơi bốc ra 5 phiếu. Nếu tổng bình phương các số trên phiếu bốc được từ hộp thứ hai là một số chia hết cho 4 thì trúng thưởng. Bạn Khánh An là người đầu tiên chơi
Các mệnh đề Đúng / Sai:
a)
Khánh An bốc ở hộp thứ hai 5 thẻ chẵn thì trúng thưởng.
b)
Xác suất để Khánh An bốc được 2 thẻ mang số lẻ từ hộp thứ nhất và trúng thưởng là 0,08 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
c)
Xác suất để Khánh An trúng thưởng là 0,18 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
d)
Xác suất để Khánh An bốc được hai phiếu có tổng các số ghi trên phiếu là số chẵn từ hộp thứ nhất, biết An trúng thưởng là 0,43 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án chính thức: a:Đ,b:S,c:Đ,d:S
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Số bình phương mod 4: thẻ chẵn góp 0, thẻ lẻ góp 1. Tổng 5 bình phương chia hết cho 4 ⟺ số thẻ lẻ trong 5 thẻ bốc từ hộp II bằng 0 hoặc 4.
a) Nếu bốc 5 thẻ chẵn thì 0 thẻ lẻ, tổng bình phương ≡ 0 (mod 4) → trúng thưởng. Đúng.
b) P(2 thẻ lẻ từ hộp I) = C(5,2)/C(10,2) = 2/9. Khi đó hộp II có 10 lẻ, 9 chẵn (17 thẻ). P(trúng) = [C(9,5) + C(10,4)·C(9,1)]/C(17,5) = (126 + 1890)/6188 = 2016/6188 ≈ 0,3258. Xác suất cần tìm = (2/9)·0,3258 ≈ 0,0724 ≈ 0,07 ≠ 0,08. Sai.
c) Gọi k là số thẻ lẻ chuyển sang hộp II. P(k=0)=P(k=2)=10/45, P(k=1)=25/45. Hộp II khi đó có 8+k lẻ, 9−k chẵn:
- k=0: [C(9,5)+C(8,4)·9]/C(17,5) = 756/6188.
- k=1: [C(8,5)+C(9,4)·8]/C(17,5) = 1064/6188.
- k=2: [C(7,5)+C(10,4)·7]/C(17,5) = 1491/6188.
P(trúng) = (10·756 + 25·1064 + 10·1491)/(45·6188) = 49070/278460 ≈ 0,1762 ≈ 0,18. Đúng.
d) Tổng hai thẻ từ hộp I chẵn ⟺ k chẵn (k=0 hoặc 2). P(k chẵn và trúng) = (10·756 + 10·1491)/278460 = 22470/278460 ≈ 0,0807. Xác suất có điều kiện = 0,0807/0,1762 ≈ 0,4579 ≈ 0,46 ≠ 0,43. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
5 thẻ chẵn → 0 thẻ lẻ → tổng bình phương ≡ 0 (mod 4), chia hết cho 4 nên trúng thưởng.
b) (AI giải đề cho tôi)
P = (2/9)·(2016/6188) ≈ 0,0724 ≈ 0,07, không phải 0,08.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(trúng) = 49070/278460 ≈ 0,1762 ≈ 0,18.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(k chẵn | trúng) = 22470/49070 ≈ 0,4579 ≈ 0,46, không phải 0,43.
Số bình phương mod 4: thẻ chẵn góp 0, thẻ lẻ góp 1. Tổng 5 bình phương chia hết cho 4 ⟺ số thẻ lẻ trong 5 thẻ bốc từ hộp II bằng 0 hoặc 4.
a) Nếu bốc 5 thẻ chẵn thì 0 thẻ lẻ, tổng bình phương ≡ 0 (mod 4) → trúng thưởng. Đúng.
b) P(2 thẻ lẻ từ hộp I) = C(5,2)/C(10,2) = 2/9. Khi đó hộp II có 10 lẻ, 9 chẵn (17 thẻ). P(trúng) = [C(9,5) + C(10,4)·C(9,1)]/C(17,5) = (126 + 1890)/6188 = 2016/6188 ≈ 0,3258. Xác suất cần tìm = (2/9)·0,3258 ≈ 0,0724 ≈ 0,07 ≠ 0,08. Sai.
c) Gọi k là số thẻ lẻ chuyển sang hộp II. P(k=0)=P(k=2)=10/45, P(k=1)=25/45. Hộp II khi đó có 8+k lẻ, 9−k chẵn:
- k=0: [C(9,5)+C(8,4)·9]/C(17,5) = 756/6188.
- k=1: [C(8,5)+C(9,4)·8]/C(17,5) = 1064/6188.
- k=2: [C(7,5)+C(10,4)·7]/C(17,5) = 1491/6188.
P(trúng) = (10·756 + 25·1064 + 10·1491)/(45·6188) = 49070/278460 ≈ 0,1762 ≈ 0,18. Đúng.
d) Tổng hai thẻ từ hộp I chẵn ⟺ k chẵn (k=0 hoặc 2). P(k chẵn và trúng) = (10·756 + 10·1491)/278460 = 22470/278460 ≈ 0,0807. Xác suất có điều kiện = 0,0807/0,1762 ≈ 0,4579 ≈ 0,46 ≠ 0,43. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
5 thẻ chẵn → 0 thẻ lẻ → tổng bình phương ≡ 0 (mod 4), chia hết cho 4 nên trúng thưởng.
b) (AI giải đề cho tôi)
P = (2/9)·(2016/6188) ≈ 0,0724 ≈ 0,07, không phải 0,08.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(trúng) = 49070/278460 ≈ 0,1762 ≈ 0,18.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(k chẵn | trúng) = 22470/49070 ≈ 0,4579 ≈ 0,46, không phải 0,43.