Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;2)$ và $B(2;5;4)$. Biết vectơ $\vec{u}=(1;b;c)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$. Khi đó giá trị của $c$ bằng bao nhiêu?

[VD] Trong không gian $Oxyz$, cho hình thang cân $ABCD$ có đáy là $AB$ và $CD$. Biết $A(3;1;-2)$, $B(-1;3;2)$, $C(-6;3;6)$ và gọi $D(a;b;c)$ với $a,b,c\in \mathbb{R}$. Giá trị của $a+b+c$ bằng

[VD] Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $A(2;1;3)$, $B(1;-1;2)$, $C(3;-6;1)$. Điểm $M(x;y;z)$ thuộc mặt phẳng $(Oyz)$ sao cho $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức $P=x+y+z$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(2;1;2)$ và $N(4;5;-6)$. Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $MN$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(2;5;2)$ và $N(-4;1;1)$. Tọa độ vectơ $\overrightarrow{MN}$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;1;0),B(-1;0;1),C(1;-2;3)$.

Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao $30m$ và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn. Mô hình thiết kế được xây dựng như sau:

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị độ dài trên mỗi trục là $1m$), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm $M(90;0;30)$, $N(90;120;30)$, $P(0;120;30)$, $Q(0;0;30)$ (Hình 34). Giả sử $K_0$ là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và $K_{0}M=K_{0}N=K_{0}P=K_{0}Q$. Để theo dõi quả bóng đến vị trí $A$, camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm $K_1$ có cao độ bằng 19. Biết rằng trung điểm đoạn $K_0{K}_1$ có tọa độ là $(a;b;c)$; khi đó, hãy tính giá trị $T=5a+7b+9c$.

(Nguồn: https://www.abiturloesumg.de; Abitur Bayern 2016 Geometrie VI).