Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(3;2;-1)$. Tìm tọa độ điểm $A^{\prime }$ thuộc mặt phẳng $(Oxz)$ sao cho độ dài đoạn thẳng $A{A}^{\prime }$ ngắn nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $E\left(-2;-9;-13\right)$. Tìm tọa độ hình chiếu của điểm $E$ trên mặt phẳng $\left(Oxy\right)$.

Trong một đại sảnh triển lãm, người ta chọn hệ tọa độ $Oxyz$ với mặt sàn được xem là mặt phẳng $(Oxy)$ (đơn vị đo chiều dài là mét). Một bóng đèn chiếu sáng được đặt trên trần nhà tại điểm $M(1;0;4)$. Một thanh trang trí $AB$ bằng kim loại được treo nằm ngang song song với mặt sàn, có tọa độ các đầu mút là $A(0;-2;2)$ và $B(1;-1;2)$. Bóng đèn chiếu sáng thanh $AB$ tạo ra một bóng râm là đoạn thẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }$ trên mặt sàn. Ban quản lý muốn trải một tấm thảm hình tròn trang trí có tâm tại gốc $O(0;0;0)$ để che phủ hoàn toàn bóng râm này.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;3)$, $B(0;-2;5)$. Điểm $M$ thay đổi thuộc $(Oxy)$. Giá trị nhỏ nhất của $AM+BM$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $A(1;2;5)$ lên trục $Ox$ có tọa độ là

Trong không gian $Oxyz$, gọi $M^{\prime }$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M(2;3;-1)$ trên trục $Oy$. Khi đó $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}$ có tọa độ là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;-1)$. Điểm đối xứng với $A$ qua mặt phẳng $(Oyz)$ có tọa độ là