Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(4;-2;3)$. Tọa độ của điểm $M^{\prime }$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $(Oxz)$ là

Câu 4. Trong không gian tọa độ $Oxyz$, góc giữa véc tơ $\vec{i}=(1;0;0)$ và véc tơ $\vec{u}=\left(-1;1;\sqrt{2}\right)$ bằng

Câu 7. Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $1$. Giá trị của tích vô hướng $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{BD}$ bằng

Câu 11. Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $M(-2;1;-3);N(0;-1;2)$. Véc tơ $\overrightarrow{MN}$ có tọa độ là

Câu 4. Tầng 1 của tòa nhà ở một trung tâm triển lãm có dạng hình chóp cụt đều $ABCD.MNPQ$ được mô hình hóa trong không gian tọa độ $Oxyz$ với đơn vị trên các trục là $10$ mét (như hình vẽ). Biết $AB=80\text{ m}$; $MN=60\text{ m}$ và chiều cao của tầng 1 tòa nhà là $20\text{ m}$. Ở các vị trí $H,K$ trên các đoạn thẳng $MD,BN$ người ta nắp các bóng đèn cao áp có khoảng cách đến mặt sàn bằng $15\text{ m}$.

Câu 4. Một vật đặt tại vị trí đỉnh $A$ của một tứ diện đều $ABCD$ chịu tác dụng của $3$ lực ${\vec{F}}_1;{\vec{F}}_2;{\vec{F}}_3$ có độ lớn lần lượt là $8\text{ N}$ (newton), $10\text{ N}$ và $12\text{ N}$. Lực ${\vec{F}}_1$ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$; ${\vec{F}}_2$ cùng hướng với $\overrightarrow{AC}$; ${\vec{F}}_3$ ngược hướng với $\overrightarrow{AD}$. Độ lớn của lực tổng hợp $\vec{F}={\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2+{\vec{F}}_3$ tác dụng lên vật bằng bao nhiêu newton? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 3. Để treo một chậu cây người ta cần lấy trên miệng của chậu cây đó $3$ điểm và sử dụng $3$ đoạn dây có độ dài bằng nhau để nối $3$ điểm đó với một điểm treo (xem hình minh hoạ). Giả sử trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, ba điểm trên miệng của chậu cây là $A(0;1;2),B(2;-2;1),C(-2;0;1)$; điểm treo $M(a;b;c)$ nằm trên mặt phẳng $(\alpha ):x+2y+z-2=0$. Bình phương khoảng cách từ điểm $M$ đến gốc toạ độ $O$ bằng bao nhiêu?