Câu 7. Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $1$. Giá trị của tích vô hướng $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{BD}$ bằng

Câu 3. Để treo một chậu cây người ta cần lấy trên miệng của chậu cây đó $3$ điểm và sử dụng $3$ đoạn dây có độ dài bằng nhau để nối $3$ điểm đó với một điểm treo (xem hình minh hoạ). Giả sử trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, ba điểm trên miệng của chậu cây là $A(0;1;2),B(2;-2;1),C(-2;0;1)$; điểm treo $M(a;b;c)$ nằm trên mặt phẳng $(\alpha ):x+2y+z-2=0$. Bình phương khoảng cách từ điểm $M$ đến gốc toạ độ $O$ bằng bao nhiêu?

Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hình lập phương $OBCD.O^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $12$ sao cho điểm $D$ thuộc tia $Ox$, điểm $B$ thuộc tia $Oy$, và điểm $O^{\prime }$ thuộc tia $Oz$. Điểm $M$ thuộc cạnh $O^{\prime }{B}^{\prime }$ sao cho $O^{\prime }{B}^{\prime }=3O^{\prime }M$. Một con kiến bò từ vị trí $M$ qua sáu mặt của hình lập phương đã cho rồi quay lại vị trí điểm $M$ sao cho quãng đường đi được của con kiến là ngắn nhất. Hỏi với cách bò như vậy, con kiến đã bò qua bao nhiêu điểm mà điểm đó có hoành độ, tung độ và cao độ là các số nguyên dương?

Cho hai số phức $z_1=-2+2i$ và $z_2=1+i$. Phần ảo của số phức $z_1+\overline{z_2}$ bằng

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức $z=(-3i{)}^2$ tọa độ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(-1;2;-3),B(1;0;2),C(x;y;-13)$ thẳng hàng. Khi đó tổng $x+y$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;-2;1),B(0;1;2)$. Tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ là