Trong không gian, cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $\left|\overrightarrow{A^{\prime }C}\right|$ là độ dài đường chéo hình lập phương cạnh $a$ nên $A^{\prime }C=a\sqrt{3}$. b) Sai: $AB\parallel CD$ nhưng ngược hướng nên $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{AB}$. c) Sai: $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ cùng phương với $\overrightarrow{AD}$ nên vuông góc với $\overrightarrow{AB}$, do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=0\ne a^2$. d) Đúng: $\overrightarrow{C^{\prime }N}=2\overrightarrow{N{B}^{\prime }}\Rightarrow \overrightarrow{AN}=\frac{\overrightarrow{A{C}^{\prime }}+2\overrightarrow{A{B}^{\prime }}}{3}=\frac{(\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+2(\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB})}{3}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$. Kết quả khớp đáp án nguồn Mã đề 1203: a)Đ - b)S - c)S - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\left|\overrightarrow{A^{\prime }C}\right|$ là độ dài đường chéo hình lập phương cạnh $a$: $A^{\prime }C=a\sqrt{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$ vì $AB\parallel CD$ và ngược hướng, nên $\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{CD}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ cùng phương với $\overrightarrow{AD}$ nên vuông góc với $\overrightarrow{AB}$, do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=0\ne a^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{C^{\prime }N}=2\overrightarrow{N{B}^{\prime }}\Rightarrow N=\frac{C^{\prime }+2B^{\prime }}{3}\Rightarrow \overrightarrow{AN}=\frac{\overrightarrow{A{C}^{\prime }}+2\overrightarrow{A{B}^{\prime }}}{3}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$.