Trong hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x-y+3z-6=0$ và đường thẳng $(\Delta ):\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+1}{1}$. Xét $(d)$ là đường thẳng thay đổi đi qua $M(1;-2;1)$ và nằm trong mp$(P)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{u_{\Delta }}=(2;1;1)$, $\vec{n}=(1;-1;3)$. $\sin \theta =\frac{|2-1+3|}{\sqrt{6}\sqrt{11}}=\frac{4}{\sqrt{66}}\approx 0,4924\Rightarrow \theta \approx 29^{\circ }30^{\prime }\ne 60^{\circ }30^{\prime }$. Sai.
b) $\vec{u}=(1;1;0)$: $\cos =\frac{|2+1|}{\sqrt{2}\sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 30^{\circ }$. Đúng.
c) $M(1;-2;1)\in (P)$ vì $1+2+3-6=0$. Vectơ chỉ phương $\vec{v}$ của $d$ thỏa $\vec{v}\cdot \vec{n}=0$ (tập các phương hướng tạo một đường trọn trên hình cầu). Góc giữa $\Delta$ và $(P)$ là $\arcsin (4/\sqrt{66})\approx 29^{\circ }30^{\prime }<30^{\circ }$, nên mặt nón trụ bán kính góc $30^{\circ }$ quanh $\Delta$ cắt tập phương hướng của $(P)$ tại đúng 2 phương hướng → đúng 2 đường thẳng $d$ qua $M$. Đúng.
d) $d\subset (P)$ nên $\vec{u}\cdot \vec{n}=0\Rightarrow m+20+9=0\Rightarrow m=-29<0$. Kiểm tra: $\vec{u}=(-29;-20;3)$, $\cos =\frac{|-58-20+3|}{25\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}}=\frac{75}{25\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, đúng góc $30^{\circ }$ nhưng $m=-29<0$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \theta =4/\sqrt{66}\approx 0,4924\Rightarrow \theta \approx 29^{\circ }30^{\prime }\ne 60^{\circ }30^{\prime }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (\widehat{d,\Delta })=\frac{3}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 30^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $\Delta$ và $(P)$ $\approx 29^{\circ }30^{\prime }<30^{\circ }$ nên nón trụ góc $30^{\circ }$ cắt tập phương hướng trong $(P)$ tại đúng 2 phương hướng → đúng 2 đường $d$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $d\subset (P)$ nên $m+20+9=0\Rightarrow m=-29<0$ (vẫn thỏa góc $30^{\circ }$).