Một nhà khảo cổ phát hiện một chiếc hộp cổ được niêm phong bằng một mật mã gồm 7 chữ số đối mặt khác nhau, được chọn ngẫu nhiên từ tập hợp các chữ số $S=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$. Mật mã này không bắt đầu bằng số 0.
a) Tổng số mật mã hợp lệ có thể tạo ra từ tập $S$ là không gian mẫu của bạn. Tính số phần tử của tập $S$.
b) Để mở chiếc hộp, mật mã phải thoả mãn đồng thời hai điều kiện bí ẩn sau:
Tính đối xứng: Ba chữ số đầu tiên phải là ba chữ số lẻ và ba chữ số cuối cùng phải là ba chữ số chẵn.
Tính trung tâm: Chữ số nằm ở vị trí chính giữa phải là một chữ số không nhỏ hơn 4.
Hãy tính xác suất để một mật mã được chọn ngẫu nhiên từ tập $S$ thoả mãn hai điều kiện trên (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
a) Tập $S=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$ có $n(S)=8$ phần tử. Mật mã gồm 7 chữ số đôi một khác nhau, không bắt đầu bằng 0: chữ số đầu có 7 cách (khác 0); 6 vị trí còn lại chọn và sắp từ 7 chữ số còn lại: $A_7^6=5040$ cách. Vậy không gian mẫu có $|\Omega |=7\cdot 5040=35280$ mật mã hợp lệ.

b) Gọi $A$ là biến cố 'mật mã thỏa mãn cả hai điều kiện'.
- Ba chữ số đầu là ba chữ số lẻ, thuộc $\{1,3,5,7\}$ (4 số lẻ).
- Ba chữ số cuối là ba chữ số chẵn, thuộc $\{0,2,4,6\}$ (4 số chẵn).
- Chữ số chính giữa (vị trí 4) là chữ số duy nhất còn lại chưa dùng, phải thuộc $\{4,5,6,7\}$.

Trường hợp 1: chữ số giữa là số lẻ $\in \{5,7\}$: 2 cách chọn; sắp 3 số lẻ còn lại vào 3 vị trí đầu: $3!=6$ cách; sắp 3 số chẵn chọn từ 4 số vào 3 vị trí cuối: $A_4^3=24$ cách. Số cách: $2\cdot 6\cdot 24=288$.

Trường hợp 2: chữ số giữa là số chẵn $\in \{4,6\}$: 2 cách chọn; sắp 3 số lẻ chọn từ 4 số vào 3 vị trí đầu: $A_4^3=24$ cách; sắp 3 số chẵn còn lại vào 3 vị trí cuối: $3!=6$ cách. Số cách: $2\cdot 24\cdot 6=288$.

Vậy $|A|=288+288=576$. Xác suất:
$$P(A)=\frac{576}{35280}=\frac{2}{122,5}\cdot \frac{1}{1}=\frac{576}{35280}\approx 0,\mathrm{016326...}$$
Làm tròn đến hàng phần trăm: $P(A)\approx 1,63\%$.