Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề "$\forall x\in \mathbb{R}:x^2+x+2025>0$".

Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề "$\forall x\in \mathbb{R}:x^2+x+2025>0$".

Phát biểu nào sau đây là một mệnh đề?

Cho đa thức
$$P(x)=a_{2026}{x}^{2026}+\cdots +a_{1}x+a_0,$$
trong đó $a_i\in \{1,3\}$ với mọi $i=0,1,\dots ,2026$. Gọi $m$ là số hệ số của $P(x)$ bằng 3.
(1) Giả sử $P(x)$ chia hết cho $x^2+x+1$. Chứng minh rằng $m\ne 0,1$.
(2) Giả sử $P(x)$ có nghiệm nguyên. Chứng minh rằng $m$ là số chẵn.

Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề "$\forall x\in \mathbb{R}:x^2+x+2018>0$".

Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?

Trên bảng được viết 2026 số nguyên. Mỗi bước, giáo viên cho phép học sinh thực hiện thao tác như sau: Chọn ra hai số $a$ và $b$ bất kỳ trên bảng thoả mãn điều kiện khoảng cách giữa chúng lớn hơn 70 (tức là $|a-b|>70$), sau đó xoá hai số này đi và viết lên bảng hai số nguyên mới là $\lfloor \frac{a+b}{2}\rfloor$ và $\lceil \frac{a+b}{2}\rceil$.
(Trong đó, ký hiệu $\lfloor x\rfloor$ là phần nguyên của $x$, tức là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$; và $\lceil x\rceil$ là phần trần của $x$, tức là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng $x$).
a) Chứng minh sau một số hữu hạn bước, quá trình trên phải dừng lại (tức là không thể tìm được cặp số $a,b$ nào thoả mãn điều kiện $|a-b|>70$).
b) Giả sử quá trình đã dừng lại. Chứng minh trên bảng luôn tồn tại ít nhất 29 số có giá trị bằng nhau.