Chứng minh rằng $(x^m-1,x^n-1)=x^{(m,n)}-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $d=(m,n)$. Vì $d\mid m$ và $d\mid n$, ta có $x^d-1\mid x^m-1$ và $x^d-1\mid x^n-1$ (do $x^k-1=(x^d-1)(x^{d(k/d-1)}+\cdots +x^d+1)$ khi $d\mid k$). Vậy $x^d-1$ là ước chung của $x^m-1$ và $x^n-1$.

Theo hệ thức Bezout, tồn tại $a,b\in \mathbb{Z}$ với $am+bn=d$. Không mất tổng quát giả sử $a\ge 0,b\le 0$ (nếu cần đổi dấu cả hai vế), đặt $u=a\ge 0$, $v=-b\ge 0$, khi đó $um-vn=d$.

Đặt $A=x^m-1$, $B=x^n-1$. Ta có
$$x^{um}-1=(x^m-1)(x^{m(u-1)}+\cdots +x^m+1)=A\cdot P(x),$$
$$x^{vn}-1=(x^n-1)(x^{n(v-1)}+\cdots +x^n+1)=B\cdot Q(x),$$
với $P(x),Q(x)$ là đa thức. Vì $um=vn+d$ nên $x^{um}=x^d\cdot x^{vn}$, do đó
$$x^d-1=(x^{um}-1)-x^d(x^{vn}-1)=(x^{um}-1)-x^{um}+x^d=AP(x)-x^{d}BQ(x).$$
(Đúng: vế trái $=x^{um}-x^{um}+x^d-1=x^d-1$.)

Vậy mọi ước chung của $A$ và $B$ đều là ước của $x^d-1$. Kết hợp với $x^d-1$ là ước chung của $A$ và $B$, ta được
$$(x^m-1,x^n-1)=x^{(m,n)}-1.$$ Đpcm.