Cho tam giác đều $ABC$, $AB=3$, đường cao $AH$. $M$ là điểm di động trên đường cao $AH$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left|7\overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\right|$. (Kết quả để dưới dạng số thập phân)

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục: $A(-\frac{3}{2};0)$, $B(\frac{3}{2};0)$, $C(0;\frac{3\sqrt{3}}{2})$, nên $H(0;0)$, $M(0;t)$ với $0\le t\le \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Ta có $7\overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=7\vec{A}-4\vec{B}+3\vec{C}-6\vec{M}$.

Tính $7\vec{A}-4\vec{B}+3\vec{C}$: hoành $=7(-\frac{3}{2})-4(\frac{3}{2})+0=-\frac{33}{2}$; tung $=3\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$.

Vậy biểu thức cần xét là $\left(-\frac{33}{2};\frac{9\sqrt{3}}{2}-6t\right)$, độ dài $\sqrt{\frac{1089}{4}+{\left(\frac{9\sqrt{3}}{2}-6t\right)}^2}$.

Chọn $t=\frac{3\sqrt{3}}{4}$ (nằm trong đoạn $AH$ vì $AH=\frac{3\sqrt{3}}{2}$) để thành phần tung bằng 0. Giá trị nhỏ nhất là $\frac{33}{2}=16,5$.