Cho tam giác $ABC$ nhọn với đường cao $AD$ $(D\in BC)$. Các điểm $E,F$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $AE,AF$ đẳng giác trong góc $BAC$. Lấy một điểm $K$ bất kỳ trên đoạn thẳng $AD$. Gọi $Y,Z$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $KE,KF$.
a) Gọi $Q$ là điểm đối xứng với $A$ qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DYZ$. Chứng minh rằng $KQ\perp YZ$.
b) Gọi $R,S$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $KC,KB$. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác $DYZ$ và $DRS$ tiếp xúc nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $D$ là gốc, $BC$ là trục hoành, $AD$ là trục tung. Đặt $A(0;a)$, $D(0;0)$, $B(-b;0)$, $C(c;0)$ với $a,b,c>0$, và $K(0;k)$ với $0\le k\le a$.

Vì $AE,AF$ đẳng giác trong góc $BAC$: với điểm $x$ trên $BC$ ta có $\tan {\theta }_x=x/a$, nên
$$\frac{a(e+f)}{a^2-ef}=\tan ({\theta }_e+{\theta }_f)=\tan (\gamma -\beta )=\frac{a(c-b)}{a^2+bc},$$
trong đó $\tan \beta =b/a$, $\tan \gamma =c/a$. Suy ra điều kiện then chốt
$$\frac{e+f}{a^2-ef}=\frac{c-b}{a^2+bc}.(\ast )$$

a) Vì $\angle AYK=\angle AZK=90^{\circ }$, bốn điểm $A,Y,K,Z$ cùng thuộc đường tròn $\omega$ đường kính $AK$, tâm $O_1$ là trung điểm $AK$. Gọi $O$ là tâm đường tròn $(DYZ)=\Gamma$. Hai đường tròn $\omega$ và $\Gamma$ cắt nhau tại $Y,Z$ nên trục đẳng phương của chúng là $YZ$, do đó $O_{1}O\perp YZ$. Vì $Q$ đối xứng với $A$ qua $O$ nên $O$ là trung điểm $AQ$, tức $\overrightarrow{AQ}=2\overrightarrow{AO}$. Khi đó
$$\overrightarrow{KQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{AO}-2\overrightarrow{A{O}_1}=2\overrightarrow{O_{1}O}.$$
Vậy $KQ\parallel O_{1}O\perp YZ$, tức $KQ\perp YZ$.

b) Đường $KE$ đi qua $(0;k)$ và $(e;0)$ có phương trình $kx+ey=ek$. Hình chiếu vuông góc của $A(0;a)$ lên $KE$ là
$$Y=\left(\frac{-ek(a-k)}{k^2+e^2},\frac{k(ak+e^2)}{k^2+e^2}\right),$$
và tương tự $Z=\left(\frac{-fk(a-k)}{k^2+f^2},\frac{k(ak+f^2)}{k^2+f^2}\right)$. Kiểm tra trực tiếp: $x_Y^2+y_Y^2=\frac{k^2(a^2+e^2)}{k^2+e^2}$.

Viết phương trình đường tròn $(DYZ)$ dạng $x^2+y^2+ux+vy=0$. Thay tọa độ $Y,Z$ và giải hệ, ta được
$$v=\frac{k(a^2-ef)}{ef-ak},u=\frac{ak(e+f)}{ef-ak}.$$
Tiếp tuyến tại $D(0;0)$ là $ux+vy=0$, có hệ số góc
$$m_{DYZ}=-\frac{u}{v}=-\frac{a(e+f)}{a^2-ef}=-\frac{a(c-b)}{a^2+bc}$$
(theo điều kiện $(\ast )$).

Hoàn toàn tương tự, với $R$ là hình chiếu của $A$ trên $KC$ (thay $e$ bởi $c$) và $S$ là hình chiếu của $A$ trên $KB$ (thay $f$ bởi $-b$), tiếp tuyến tại $D$ của đường tròn $(DRS)$ có hệ số góc
$$m_{DRS}=-\frac{a(c+(-b))}{a^2-c(-b)}=-\frac{a(c-b)}{a^2+bc}.$$

Vậy hai đường tròn $(DYZ)$ và $(DRS)$ cùng đi qua $D$ và có cùng tiếp tuyến tại $D$, tức chúng tiếp xúc nhau tại $D$.

(Nhận xét: $A,R,K,S$ cũng nội tiếp đường tròn đường kính $AK$ vì $\angle ARK=\angle ASK=90^{\circ }$, nhất quán với cấu trúc bài toán.)