Cho số nguyên $n\ge 2$. Xét một hoán vị của $a_1,a_2,...,a_n$ của $n$ số nguyên dương đầu tiên sao cho
$$a_1<\frac{a_1+a_2}{2}<...<\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}.$$
a) Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $a_n$.
b) Gọi $k$ là số nguyên dương sao cho $a_k=n$. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $k$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $S_k=a_1+a_2+\cdots +a_k$. Điều kiện $\frac{S_k}{k}<\frac{S_{k+1}}{k+1}$ tương đương với $(k+1)S_k<k(S_k+a_{k+1})$, tức $S_k<k{a}_{k+1}$, hay $$a_{k+1}>\frac{S_k}{k}=\text{trung bıˋnh cộng của }{a}_1,\dots ,a_k.$$ Vậy mỗi số hạng mới phải lớn hơn trung bình cộng của các số hạng đứng trước nó. Trung bình cuối cùng $\frac{S_n}{n}=\frac{n+1}{2}$, và dãy trung bình $\frac{S_k}{k}$ tăng ngặt nên mọi trung bình riêng đều nhỏ hơn $\frac{n+1}{2}$.

**a) Giá trị nhỏ nhất của $a_n$.**

Vì $\frac{S_{n-1}}{n-1}<\frac{S_n}{n}=\frac{n+1}{2}$ nên $$S_{n-1}<\frac{(n-1)(n+1)}{2}=\frac{n^2-1}{2}.$$ Mặt khác $n$ số đầu tiên là hoán vị của $1,2,\dots ,n$ nên $S_{n-1}=\frac{n(n+1)}{2}-a_n$. Do đó $$\frac{n(n+1)}{2}-a_n<\frac{n^2-1}{2}⟺a_n>\frac{n+1}{2}.$$ Vì $a_n$ nguyên nên:
- nếu $n$ chẵn: $a_n\ge \frac{n}{2}+1$;
- nếu $n$ lẻ: $\frac{n+1}{2}$ nguyên nên $a_n\ge \frac{n+1}{2}+1$.

Tóm lại $a_n\ge \lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor +1$.

Kiểm tra đạt được: với $n=3$, hoán vị $1,2,3$ cho $1<\frac{3}{2}<2$, và $a_3=3=\lfloor \frac{4}{2}\rfloor +1$. Với $n\ge 4$, chọn $a_i=i$ với $1\le i\le n-2$, $a_{n-1}=n$, $a_n=\lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor +1$. Khi đó với $k\le n-2$, $\frac{S_k}{k}=\frac{k+1}{2}$ tăng ngặt; $\frac{S_{n-1}}{n-1}=\frac{n}{2}+\frac{1}{n-1}$ thỏa $\frac{n-1}{2}<\frac{n}{2}+\frac{1}{n-1}<\frac{n+1}{2}$ (vì $n\ge 4$); và $a_n=\lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor +1>\frac{n}{2}+\frac{1}{n-1}$, đồng thời $\frac{S_n}{n}=\frac{n+1}{2}>\frac{S_{n-1}}{n-1}$. Vậy $\min a_n=\lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor +1$ (các ví dụ: $n=2$: hoán vị $1,2$ có $a_2=2$; $n=3$: $1,2,3$ có $a_3=3$; $n=4$: $1,2,4,3$ có $a_4=3$).

**b) Giá trị nhỏ nhất của $k$ với $a_k=n$.**

- $k=1$ không thể vì $a_1=n$ khi đó $\frac{S_1}{1}=n>\frac{n+1}{2}$, mâu thuẫn với tính tăng.
- $k=2$ không thể: nếu $a_2=n$ thì $\frac{S_2}{2}=\frac{a_1+n}{2}\ge \frac{1+n}{2}=\frac{n+1}{2}$, nhưng trung bình riêng phải nhỏ hơn trung bình cuối $\frac{n+1}{2}$, mâu thuẫn (xảy ra với mọi $n\ge 2$).
- Với $n=2$: hoán vị duy nhất thỏa mãn là $1,2$ nên $k=2$.
- Với $n\ge 3$: thử $k=3$, tức $a_3=n$. Chọn $a_1=1,a_2=2,a_3=n$. Khi đó $\frac{S_3}{3}=\frac{n+3}{3}<\frac{n+1}{2}$ với $n>3$ (với $n=3$: $1,2,3$ cho $1<\frac{3}{2}<2$ thỏa mãn). Các số còn lại $3,4,\dots ,n-1$ xếp tăng dần ở các vị trí $4,\dots ,n$: mỗi số hạng mới là max nên lớn hơn trung bình cộng trước đó, mọi điều kiện đều thỏa. Vậy $k=3$ đạt được với mọi $n\ge 3$.

Kết luận: $\min a_n=\lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor +1$ (tức $\frac{n}{2}+1$ nếu $n$ chẵn, $\frac{n+1}{2}+1$ nếu $n$ lẻ); giá trị nhỏ nhất của $k$ là $k=2$ khi $n=2$ và $k=3$ khi $n\ge 3$.