Kỳ Thi Chọn Học Sinh Giỏi Quốc Gia Toán THPT 2025-2026 - Ngày Thi 23/9/2025 - Đề Số 1

Cho số nguyên $n\ge 2$. Xét một hoán vị của $a_1,a_2,...,a_n$ của $n$ số nguyên dương đầu tiên sao cho
$$a_1<\frac{a_1+a_2}{2}<...<\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}.$$
a) Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $a_n$.
b) Gọi $k$ là số nguyên dương sao cho $a_k=n$. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $k$.

Trong mặt phẳng tọa độ, một điểm được gọi là điểm nguyên nếu cả hoành độ và tung độ của nó đều là các số nguyên. Có thể chọn được tối đa bao nhiêu điểm nguyên trong mặt phẳng tọa độ, sao cho đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trong chúng chứa đúng 2026 điểm nguyên?

Cho tam giác $ABC$ nhọn với đường cao $AD$ $(D\in BC)$. Các điểm $E,F$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $AE,AF$ đẳng giác trong góc $BAC$. Lấy một điểm $K$ bất kỳ trên đoạn thẳng $AD$. Gọi $Y,Z$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $KE,KF$.
a) Gọi $Q$ là điểm đối xứng với $A$ qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DYZ$. Chứng minh rằng $KQ\perp YZ$.
b) Gọi $R,S$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $KC,KB$. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác $DYZ$ và $DRS$ tiếp xúc nhau.