Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $a=3cm,b=4cm,c=5cm$. Khi đó các khẳng định sau đúng hay sai?

Một bể dựng nước được xây dựng hình hộp chữ nhật có chiều cao của bể là 10 mét. Trong bể người ta lắp một chiếc thang có độ dài 15 mét nối đáy bể và mặt bể (tham khảo hình vẽ bên). Khi mặt nước cách mặt bể 1 mét thì phần thang bị ngập trong nước có độ dài là bao nhiêu mét?

Câu 4. (2 điểm) Cho hình thang $ABCD$ với hai đáy là $AD,BC$. Chứng minh rằng $$\cot BAC-\cot BDC=\frac{A{B}^2+A{C}^2-D{B}^2-D{C}^2}{4S}$$ với $S$ là diện tích của tam giác $ABC$.

Một ngã ba sông gồm ba bờ sông chứa các điểm $A$, $B$, $C$ cố định (như hình vẽ). Người ta muốn xây một cây cầu kết nối ba bờ sông xuất phát từ các vị trí $A$, $B$, $C$ và giao nhau tại vị trí $O$ trên sông sao cho $O$ cách đều ba điểm $A$, $B$, $C$. Giả sử các vị trí $A,B,C,O$ có cùng độ cao so với mặt nước biển, điểm $A$ có độ cao so với mặt đất là 1 mét và bạn An đang đứng ở bờ sông chứa điểm $A$ trông thấy rất rõ hai vị trí $B,C$. Bằng công cụ đo đạc thô sơ như: thước đo độ dài, giác kế,… em hãy giúp bạn An đề xuất cách xác định khoảng cách từ $B$ đến $O$ với điều kiện không di chuyển trên sông và qua bến kia sông trong quá trình đo đạc.

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn với $AB<AC$. Ba đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Chứng minh $DA$ là phân giác góc $\widehat{EDF}$.

Hai chất điểm $A$ và $B$ chuyển động thẳng đều cùng hướng về $O$ với vận tốc $V_B=\frac{V_A}{\sqrt{3}}$ và góc $\widehat{AOB}=30^{\circ }$ (tham khảo hình vẽ). Biết rằng khi khoảng cách giữa hai chất điểm $A$ và $B$ là nhỏ nhất thì số đo góc $\widehat{BAO}=\phi$. Tìm $\phi$ (đơn vị độ).

Cho tam giác $ABC$. Biết rằng các góc $A$, $B$, $C$ của tam giác đó thỏa mãn hệ thức $\frac{\sin C}{\sin A\cos B}=2$. Chứng minh rằng tam giác $ABC$ là tam giác cân.