Cho số thực $x$ thỏa mãn $2^x+2^{-x}=3$. Tính giá trị của biểu thức $P={\log }_2\frac{5+4^{-x}+4^x}{3}$.

Độ $pH$ của đất được tính theo công thức: $pH=-\log \left[H^{+}\right]$, trong đó $\left[H^{+}\right]$ là nồng độ (tính theo mol/lít) của các ion hydrogen. Một nông trại trồng dưa lưới đo được nồng độ $\left[H^{+}\right]$ của đất ban đầu là $1,58.10^{-5}$ (mol/lít). Sau khi xử lý đất bằng vôi bột, nồng độ $\left[H^{+}\right]$ giảm 4 lần so với nồng độ $\left[H^{+}\right]$ ban đầu. Cây dưa lưới sẽ phát triển tốt khi độ $pH$ nằm trong khoảng từ 6,0 đến 6,5.

Cho $a,b,c$ là ba số thực dương khác 1 thỏa mãn ${\log }_{a}b=7$ và ${\log }_{c}b=\frac{1}{16}$. Giá trị của biểu thức $P={\log }_a(ac)$ bằng bao nhiêu?

Giả sử nhiệt độ $T{(}^{\circ }C)$ của nước trong cốc được mô hình hóa bởi hàm số; $T=25+k{e}^{-0,11t}$, trong đó $k$ là hằng số dương và $t$ là thời gian tính bằng phút. Biết rằng, thời điểm ban đầu nhiệt độ của nước là $100^{\circ }C$. Sau bao nhiêu phút thì nhiệt độ của nước là $50^{\circ }C$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Số nghiệm của phương trình $\log \left|x^2-3\right|=0$ là

Sau khi một loại thuốc kháng sinh được tiêm vào cơ thể thì nồng độ của thuốc trong máu sẽ giảm dần theo thời gian do quá trình chuyển hoá. Nồng độ thuốc trong máu sau $t$ giờ kể từ khi tiêm được mô hình hoá bởi công thức $C(t)=C_0{e}^{-rt}$ (mg/lit).
Trong đó:
$C_0$ là nồng độ thuốc trong máu ngay sau khi tiêm.
$r$ là hằng số dương đo tốc độ phân hủy của thuốc.
$e\approx 2,718$.
Biết rằng ngay sau khi tiêm, nồng độ trong máu là 15 mg/lit và sau đó 4 giờ nồng độ thuốc giảm còn 10 mg/lit. Để đạt hiệu quả điều trị, bác sĩ sẽ tiêm lại một liều mới khi nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân giảm xuống và còn ít nhất 6 mg/lit.
Theo mô hình trên, để đạt hiệu quả điều trị thì khoảng thời gian nhiều nhất giữa hai lần tiêm thuốc là bao nhiêu giờ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Với $a$ là số thực dương tùy ý, ${\log }_2(16a)-{\log }_2(2a)$ bằng