Cho số nguyên tố $p$ sao cho số $x^2-x+p$ là số nguyên tố với mọi $x\in \{0,1,2,\dots ,p-1\}$. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên $(a;b;c)$ thỏa mãn $0<a\le c$, $-a\le b<a$ và
$$1-4p=b^2-4ac.$$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3. Khẳng định: bộ ba duy nhất là $(a;b;c)=(1;-1;p)$.

Bước 1 (chặn cho $a$): Từ $1-4p=b^2-4ac$ ta có $b^2=4ac+1-4p$. Vì $-a\le b<a$ nên $b^2\le a^2$; vì $c\ge a$ nên $b^2\ge 4a^2+1-4p$. Suy ra $4a^2+1-4p\le a^2$, tức $3a^2\le 4p-1$, nên $a\le \sqrt{\frac{4p-1}{3}}<p$ (vì $3p^2-4p+1=(3p-1)(p-1)>0$ với mọi nguyên tố $p$).

Bước 2 (chứng minh $a=1$): Giả sử $a>1$, gọi $q$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $a$; theo Bước 1 thì $q\le a<p$. Từ $b^2=4ac+1-4p$ và $q\mid a$ suy ra $b^2\equiv 1-4p(\mathrm{mod}q)$.

- Trường hợp $q$ lẻ: chọn $x\equiv \frac{b+1}{2}(\mathrm{mod}q)$ với $0\le x\le q-1\le p-1$. Khi đó $(2x-1{)}^2\equiv b^2(\mathrm{mod}q)$, do đó
$$4(x^2-x+p)=(2x-1{)}^2+4p-1\equiv b^2+4p-1=4ac\equiv 0(\mathrm{mod}q).$$
Vì $q$ lẻ nên $q\mid x^2-x+p$. Mặt khác $x^2-x+p\ge p$ với mọi $x\ge 0$ (giá trị nhỏ nhất tại $x=0$ hoặc $x=1$ bằng $p$), và $x^2-x+p$ là số nguyên tố. Nếu $x^2-x+p=p$ thì $x\in \{0;1\}$ và $q\mid p$, mâu thuẫn với $q<p$; nếu $x^2-x+p>p$ thì nó nguyên tố nên không có ước nguyên tố $q<p$ — đều mâu thuẫn.

- Trường hợp $q=2$: khi đó $a$ chẵn. Ta có $b^2=4ac+1-4p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ nên $b$ lẻ, do đó $b^2\equiv 1(\mathrm{mod}8)$. Suy ra $4ac=b^2+4p-1\equiv 4p(\mathrm{mod}8)$, tức $ac\equiv p(\mathrm{mod}2)$. Vì $a$ chẵn nên $ac$ chẵn, suy ra $p$ chẵn, tức $p=2$. Nhưng khi $p=2$ thì $a\le \sqrt{7/3}<2$ nên $a=1$, mâu thuẫn với $a>1$.

Vậy $a=1$.

Bước 3 (tìm $b,c$): Với $a=1$: $-1\le b<1$ nên $b\in \{-1;0\}$; vì $b^2=4c+1-4p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ nên $b$ lẻ, suy ra $b=-1$. Khi đó $1-4p=1-4c$ nên $c=p$. Kiểm tra: $0<1\le p$, $-1\le -1<1$, và $b^2-4ac=1-4p$ — thỏa mãn.

Kết luận: tập tất cả các bộ ba là $(a;b;c)=(1;-1;p)$, duy nhất.