Cho một bảng ô vuông $A$ kích thước $9\times 9$ gồm 9 hàng và 9 cột (tham khảo hình vẽ bên). Trên mỗi ô vuông của $A$ ta viết một số thực sao cho: với mỗi bảng ô vuông con $B$ của $A$ với kích thước $3\times 3$ và mỗi bảng ô vuông con $C$ của $A$ với kích thước $4\times 4$, thì tích của các số trong $B$ bằng tích của các số trong $C$. Hỏi tích của các số trong bảng $A$ có thể bằng 2025 hay không?

(AI giải đề cho tôi)
Đáp án: KHÔNG. Nếu tích toàn bảng bằng $2025\ne 0$ thì mọi ô đều khác $0$. Gọi $x_{ij}$ là số ở ô $(i,j)$, $1\le i,j\le 9$.

Bước 1 (tuần hoàn chu kỳ 3): So sánh hai bảng $3\times 3$ cùng các cột $j,j+1,j+2$ nhưng lệch một hàng (hàng $i..i+2$ và $i+\mathrm{1..}i+3$), ta được ${\prod }_{c=j}^{j+2}{x}_{i,c}={\prod }_{c=j}^{j+2}{x}_{i+3,c}$. Sau đó so sánh hai bảng $3\times 3$ trên cùng các hàng nhưng lệch một cột, suy ra $x_{i,j}=x_{i,j+3}$ với mọi $i,j\le 6$. Vậy mỗi hàng tuần hoàn chu kỳ 3 theo cột, mỗi cột tuần hoàn chu kỳ 3 theo hàng; bảng xác định bởi khối $3\times 3$ góc trên trái, và mọi bảng $3\times 3$ con có cùng tích $k={\prod }_{i=1}^3{\prod }_{j=1}^3{x}_{ij}\ne 0$.

Bước 2 (điều kiện từ bảng $4\times 4$): Xét bảng $4\times 4$ với hàng $i..i+3$, cột $j..j+3$ ($1\le i,j\le 3$). Nhờ chu kỳ 3, nó gồm khối $3\times 3$ (hàng $i..i+2$, cột $j..j+2$, tích $k$) cộng thêm hàng $i+3\equiv i$ (tích trên các cột $j..j+3$ bằng $s_i{x}_{i,j}$, với $s_i={\prod }_{c=1}^3{x}_{i,c}$) và cột $j+3\equiv j$ (tích trên các hàng $i..i+2$ bằng $P_j$, với $P_j={\prod }_{r=1}^3{x}_{r,j}$). Vậy tích bảng $4\times 4$ là $k\cdot s_i{P}_j{x}_{i,j}$. Theo giả thiết nó bằng $k\ne 0$, nên $$s_i{P}_j{x}_{i,j}=1\forall i,j\in \{1,2,3\},\text{tức}{x}_{i,j}=\frac{1}{s_i{P}_j}.$$

Bước 3: Thay vào công thức tính tích hàng: $s_i={\prod }_{j=1}^3{x}_{i,j}=\frac{1}{s_i^{3}P}$ với $P=P_1{P}_2{P}_3$, tức $s_i^{4}P=1$. Tương tự $P_j^{4}S=1$ với $S=s_1{s}_2{s}_3$. Lấy tích theo $i$: $S^4{P}^3=1$; lấy tích theo $j$: $P^4{S}^3=1$. Nâng hai đẳng thức lũy thừa 4 và 3 rồi chia: $S^{16-9}=S^7=1$, mà $S$ thực nên $S=1$; suy ra $P^3=1$ tức $P=1$. Khi đó $$k=\prod _{i,j\le 3}{x}_{i,j}=\prod _{i,j\le 3}\frac{1}{s_i{P}_j}=\frac{1}{S^3{P}^3}=1.$$

Bước 4: Bảng $A$ gồm 9 khối $3\times 3$ rời nhau, mỗi khối có tích $k=1$, nên tích tất cả các số trong bảng bằng $k^9=1\ne 2025$. (Nếu có ô bằng $0$ thì tích toàn bảng bằng $0$, cũng khác $2025$.) Vậy tích các số trong bảng $A$ không thể bằng $2025$.