Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ bên dưới). Mặt phẳng $(A^{\prime }AC)$ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương, $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ và $A{A}^{\prime }\subset (A^{\prime }AC)$. Theo định lý: nếu một mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc, suy ra $(A^{\prime }AC)\perp (ABCD)$. Kiểm tra các phương án khác bằng tọa độ $A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A^{\prime }(0,0,1)$: pháp tuyến của $(A^{\prime }AC)$ là $(1,1,0)$ (vì $AC$ hướng $(1,1,0)$, $A{A}^{\prime }$ hướng $(0,0,1)$). Pháp tuyến $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là $(0,1,0)$, tích vô hướng với $(1,1,0)$ bằng $1\ne 0$ nên không vuông góc; tương tự $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ có pháp tuyến $(1,0,0)$, tích vô hướng $1\ne 0$; $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$ có pháp tuyến $(1,0,0)$, cũng không vuông góc. Vậy chỉ có $(ABCD)$ vuông góc với $(A^{\prime }AC)$.