Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh $a$. Giá trị của tích vô hướng $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, khoảng cách giữa hai điểm $A(-2;-3;9)$ và $B(-2;3;1)$ bằng:

Cho hình lập phương $ABCD.MNPQ$. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AN}$ và $\overrightarrow{PM}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;-3;1)$ và $B(3;0;-2)$. Tính độ dài đoạn thẳng $AB$.

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác nhọn $ABC$ có đường phân giác trong của góc $A$ song song với đường thẳng $(d):\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-1+t\\ z=4-t\end{array}$. Đường thẳng $AC$ có một vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_1=(1;2;-1)$. Biết đường thẳng $AB$ có một vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_2=(a;b;c)$ với $a,b,c\in \mathbb{Z}$ và $a^2+b^2+c^2\ne 0$. Biểu thức $P=a^2+b^2+c^2$ có giá trị nhỏ nhất bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vec tơ $\vec{a}=(2;3;3)$, $\vec{b}=(3;2;-1)$. Khi đó tích vô hướng $\vec{a}\cdot \vec{b}$ bằng:

Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a}=(2;-2;6)$. Khi đó độ dài của vectơ $\vec{a}$ là: