Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{x-1}-1}{x^2-3x+2}& \text{khi }x\ne 2\\ \frac{2a+1}{6}& \text{khi }x=2\end{array}$ và $g(x)=\sin \frac{\pi x}{4}$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
a) Với $x\to 2$: $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ và $\sqrt{x-1}-1=\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}$, nên ${\lim }_{x\to 2}f(x)=\lim \frac{1}{(x-1)(\sqrt{x-1}+1)}=\frac{1}{1\cdot 2}=\frac{1}{2}$. Đúng. b) $g(2)=\sin \frac{\pi }{2}=1={\lim }_{x\to 2}g(x)$, hàm sin liên tục nên $g$ liên tục tại $x_0=2$. Đúng. c) $a=1\Rightarrow f(2)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}={\lim }_{x\to 2}f(x)$, nên $f$ liên tục tại $x_0=2$. Đúng. d) $a=0\Rightarrow f(2)=\frac{1}{6}$, $g(2)=1$, nên $(f+g)(2)=\frac{7}{6}$, nhưng ${\lim }_{x\to 2}(f+g)=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\ne \frac{7}{6}$, nên $f+g$ không liên tục tại $x_0=2$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: ${\lim }_{x\to 2}f(x)=\frac{1}{(x-1)(\sqrt{x-1}+1)}=\frac{1}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g(2)=\sin (\pi /2)=1={\lim }_{x\to 2}g(x)$ nên $g$ liên tục tại $x_0=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$a=1\Rightarrow f(2)=\frac{1}{2}={\lim }_{x\to 2}f(x)$ nên $f$ liên tục tại $x_0=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$a=0\Rightarrow (f+g)(2)=\frac{7}{6}\ne \frac{3}{2}={\lim }_{x\to 2}(f+g)$, nên không liên tục.