Cho đường tròn $(C):(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=25$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta :3x+4y+1=0$ tại $A(1;-1)$. Tính $\frac{b}{a}$ biết rằng giá trị của $a>0$.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm $I(a;b)$, bán kính $R=5$. Vì $(C)$ tiếp xúc $\Delta :3x+4y+1=0$ tại $A(1;-1)$ nên $I$ nằm trên pháp tuyến của $\Delta$ qua $A$, cách $A$ một khoảng $R=5$. Vectơ pháp tuyến đơn vị của $\Delta$ là $\frac{(3;4)}{5}$, nên $I=A\pm 5\cdot \frac{(3;4)}{5}=(1\pm 3;-1\pm 4)$, tức $I(4;3)$ hoặc $I(-2;-5)$. Vì $a>0$ nên $I(4;3)$, suy ra $\frac{b}{a}=\frac{3}{4}$. Kiểm tra: khoảng cách từ $(4;3)$ đến $\Delta$ là $\frac{|12+12+1|}{5}=5$ đúng bằng bán kính, và $A(1;-1)$ thuộc $\Delta$ vì $3-4+1=0$.