Cho đường cong $(C)$ có phương trình $3x^2+4y^2-48=0$ và đường thẳng $d:x-2y+4=0$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho elip $(E)$ có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. Gọi $2c$ là tiêu cự của elip (E). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của elip?

Câu 2 (5 điểm). Để khám phá không gian, các nhà khoa học thường phải quan sát những vật thể xa xôi như sao chổi, tiểu hành tinh và các hiện tượng thiên văn khác. Nhằm mục đích đó, các nhà khoa học thiết kế và phóng các vệ tinh quan sát lên quỹ đạo quanh Trái Đất. Hầu hết các vệ tinh không chuyển động theo vòng tròn hoàn hảo mà có quỹ đạo là một đường elip, với Trái Đất nằm ở một trong hai tiêu điểm của elip. Khi một vệ tinh chuyển động trên quỹ đạo elip, khoảng cách giữa nó và vật thể cần quan sát liên tục thay đổi. Thông thường, nếu khoảng cách từ vệ tinh đến vật thể cần quan sát là ngắn nhất thì các thiết bị cảm biến trên vệ tinh sẽ nhận được tín hiệu tốt nhất.

Cho một vệ tinh (được xem như là một chất điểm) chuyển động xung quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đường elip. Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ đều bằng $6400km$), giả sử vệ tinh chuyển động trên mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ theo quỹ đạo có phương trình là $x^2+3y^2=17$. Vệ tinh cần quan sát một vật thể (cũng được xem như là một chất điểm) chuyển động trong không gian. Theo các kết quả nghiên cứu, khi vật thể chuyển động đến vị trí $A\left(2;\frac{16}{\sqrt{3}};8\right)$ thì việc quan sát vật thể đó là tốt nhất. Hãy xác định tọa độ điểm $C$ (trên quỹ đạo elip của vệ tinh) trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ nói trên sao cho khoảng cách từ vị trí $C$ đến vị trí $A$ là ngắn nhất.

Một đường hầm có mặt cắt hình nửa elip cao 4 m, rộng 10 m. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Một đường hầm có mặt cắt hình nửa elip cao 4 m, rộng 10 m. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Cho elip (E) có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$. Tìm tọa độ tất cả các giao điểm của (E) với trục Ox.