Câu 6. (1,5 điểm) Cho hai dãy số $(x_n)$, $(y_n)$ xác định bởi:
$x_1=1,y_1=\sqrt{3}$ và $\{\begin{array}{l}{x}_{n+1}{y}_{n+1}-x_n=0\\ x_{n+1}^2+y_n=2\end{array}$, với mọi $n=1,2,\dots$
Chứng minh rằng hai dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

(AI giải đề cho tôi)
Bài toán: Cho $x_1=1,y_1=\sqrt{3}$ và $\{\begin{array}{l}{x}_{n+1}{y}_{n+1}-x_n=0\\ x_{n+1}^2+y_n=2\end{array}$. Ta chứng minh công thức đóng sau đây bằng quy nạp:
$$x_n=2\sin \frac{\pi }{6\cdot 2^{n-1}},y_n=2\cos \frac{\pi }{6\cdot 2^{n-1}}(n\ge 1).$$

Bước 1: Kiểm tra cơ sở quy nạp. Với $n=1$: $x_1=2\sin \frac{\pi }{6}=1$ ✓, $y_1=2\cos \frac{\pi }{6}=\sqrt{3}$ ✓.

Bước 2: Vì $x_1>0$, $y_1>0$ và từ phương trình $x_{n+1}^2+y_n=2$ ta lấy nghiệm dương $x_{n+1}=\sqrt{2-y_n}>0$ (các số hạng của hai dãy đều dương, do đó dãy được xác định duy nhất theo nhánh dương). Giả sử công thức đúng đến $n$, tức $x_n=2\sin {\theta }_n$, $y_n=2\cos {\theta }_n$ với ${\theta }_n=\frac{\pi }{6\cdot 2^{n-1}}\in \left(0,\frac{\pi }{6}\right)$. Khi đó:
$$x_{n+1}^2=2-y_n=2-2\cos {\theta }_n=4{\sin }^2\frac{{\theta }_n}{2}\Rightarrow x_{n+1}=2\sin \frac{{\theta }_n}{2}=2\sin \frac{\pi }{6\cdot 2^n}.$$
Và từ $x_{n+1}{y}_{n+1}=x_n$:
$$y_{n+1}=\frac{x_n}{x_{n+1}}=\frac{2\sin {\theta }_n}{2\sin ({\theta }_n/2)}=2\cos \frac{{\theta }_n}{2}=2\cos \frac{\pi }{6\cdot 2^n}.$$
Vậy công thức đúng cho $n+1$. Theo quy nạp, công thức đóng đúng với mọi $n\ge 1$.

Bước 3: Kiểm tra lại hai hệ thức truy hồi với công thức tìm được (đặt ${\theta }_n=\frac{\pi }{6\cdot 2^{n-1}}$):
- $x_{n+1}^2+y_n=4{\sin }^2\frac{{\theta }_n}{2}+2\cos {\theta }_n=2-2\cos {\theta }_n+2\cos {\theta }_n=2$ ✓.
- $x_{n+1}{y}_{n+1}=2\sin \frac{{\theta }_n}{2}\cdot 2\cos \frac{{\theta }_n}{2}=2\sin {\theta }_n=x_n$ ✓.

Bước 4: Tính giới hạn. Vì $\frac{\pi }{6\cdot 2^{n-1}}\to 0$ khi $n\to \infty$ và hàm $\sin ,\cos$ liên tục:
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=2\sin 0=0,\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=2\cos 0=2.$$

Kết luận: Hai dãy $(x_n)$, $(y_n)$ đều có giới hạn hữu hạn, cụ thể $\lim x_n=0$ và $\lim y_n=2$. (Kiểm tra tính nhất quán: $0+2=2$ thỏa $x_{n+1}^2+y_n=2$ và $0\cdot 2=0$ thỏa $x_{n+1}{y}_{n+1}=x_n$ khi $n\to \infty$.)