Câu 5. Tìm hệ số góc $k$ của tiếp tuyến của parabol $y=x^2$ tại điểm có hoành độ $\frac{1}{2}$.

Cho hàm số $y=2x^3-3x^2-5$, có đồ thị (C).
a. Tìm x để $y^{\prime }=0$.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng -5.

Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ có đồ thị $(C)$ và $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận. Giả sử $M(x_0;y_0)$ là điểm trên đồ thị $(C)$ có hoành độ dương sao cho tiếp tuyến tại $M$ với $(C)$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại hai điểm $A$, $B$ thỏa mãn $I{A}^2+I{B}^2=40$. Tính giá trị của biểu thức $P=x_0^2+y_0^2+x_0{y}_0$ ?

Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ có đồ thị $(C)$ và $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận. Giả sử $M(x_0;y_0)$ là điểm trên đồ thị $(C)$ có hoành độ dương sao cho tiếp tuyến tại $M$ với $(C)$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại hai điểm $A$, $B$ thỏa mãn $I{A}^2+I{B}^2=40$. Tính giá trị của biểu thức $P=x_0^2+2y_0^2-x_0{y}_0$?

Một kỹ sư thiết kế đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol và hai đoạn đường lên dốc $T_1$ và xuống dốc $T_2$ (như hình vẽ dưới đây).





Đoạn lên dốc $T_1$ và đoạn xuống dốc $T_2$ là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là 2 và $-3$. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, $T_1$ và $T_2$ phải là những tiếp tuyến của cung parabol lần lượt tại các điểm chuyển tiếp $A$ và $B$.
Giả sử gốc tọa độ đặt tại $A$, độ dài 1 đơn vị trên các trục $Ox$, $Oy$ là 1 mét trên thực tế; phương trình của parabol là $y=a{x}^2+bx+c$.

Cho đồ thị hàm số $(C)$: $y=\frac{1}{3}{x}^3+x^2-2x+1$. Tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $E\left(1;\frac{1}{3}\right)$ cắt đường thẳng $x=\frac{8}{3}$ tại điểm có tung độ bằng bao nhiêu?

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^2$ tại điểm có hoành độ là $\frac{1}{4}$ có hệ số góc là $k$. Tính $k$.