Câu 5 (4,00 điểm).
1. Cho dãy số xác định bởi $$u_1=1,u_{n+1}=\frac{1}{3}\left(2u_n+\frac{n-1}{n^2+3n+2}\right);n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$ Tính $u_{2026}$.
2. Một người bắt đầu đi làm được nhận được số tiền lương là 6 000 000 đ một tháng. Sau 24 tháng người đó được tăng lương 10\%. Hằng tháng người đó tiết kiệm 30\% lương để gửi vào ngân hàng với lãi suất 0,3\%/ tháng theo hình thức lãi kép (tiền lãi của kỳ trước được cộng vào tiền gốc để tính lãi cho kỳ tiếp theo). Biết rằng người đó nhận lương vào đầu tháng và số tiền tiết kiệm được chuyển ngay vào ngân hàng. Sau 36 tháng tính từ lúc bắt đầu đi làm, tổng số tiền người đó tiết kiệm được là bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 5.**

**Phần 1.** Dãy số: $u_1=1$, $u_{n+1}=\frac{1}{3}\left(2u_n+\frac{n-1}{n^2+3n+2}\right)=\frac{2}{3}{u}_n+\frac{1}{3}\cdot \frac{n-1}{(n+1)(n+2)}$.

Đây là phương trình truy hồi tuyến tính cấp một với hệ số $\frac{2}{3}$. Ta tìm một nghiệm riêng dạng $u_n^p=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}$. Thay vào phương trình truy hồi và nhân hai vế với $n(n+1)(n+2)$:
$$An(n+2)+Bn(n+1)=\frac{2}{3}\left[A(n+1)(n+2)+Bn(n+2)\right]+\frac{1}{3}n(n-1).$$
So sánh hệ số của $n^2$: $A+B=\frac{2A+2B+1}{3}\Rightarrow A+B=1$.
So sánh hệ số của $n$: $2A+B=2A+\frac{4B}{3}-\frac{1}{3}\Rightarrow B=1$, suy ra $A=0$ (kiểm tra hệ số tự do: $0=\frac{4A}{3}$ đúng).
Vậy nghiệm riêng là $u_n^p=\frac{1}{n+1}$.

Nghiệm tổng quát: $u_n=C{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}+\frac{1}{n+1}$. Với $u_1=1$: $C+\frac{1}{2}=1\Rightarrow C=\frac{1}{2}$.
$$u_n=\frac{1}{2}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}+\frac{1}{n+1}.$$
Kiểm tra: $u_2=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ ✓; $u_3=\frac{2}{9}+\frac{1}{4}=\frac{17}{36}$, và trực tiếp $u_3=\frac{1}{3}\left(\frac{4}{3}+\frac{1}{12}\right)=\frac{17}{36}$ ✓.

Vậy $u_{2026}=\frac{1}{2}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{2025}+\frac{1}{2027}$.

**Phần 2.** Gọi $q=1,003$ (lãi suất $0,3\%$/tháng, lãi kép).

- Tháng $1$ đến tháng $24$: lương $6000000$ đ, tiết kiệm mỗi tháng $30\%\cdot 6000000=1800000$ đ.
- Sau 24 tháng tăng lương $10\%$: lương tháng $25$ đến tháng $36$ là $6600000$ đ, tiết kiệm mỗi tháng $1980000$ đ.

Người đó nhận lương đầu tháng và gửi ngay vào ngân hàng, nên khoản gửi vào đầu tháng $k$ nhân với $q^{37-k}$ sau khi hết tháng $36$. Tổng tiền sau 36 tháng:
$$T=1800000\sum _{k=1}^{24}{q}^{37-k}+1980000\sum _{k=25}^{36}{q}^{37-k}=1800000\sum _{j=13}^{36}{q}^j+1980000\sum _{j=1}^{12}{q}^j.$$

Tính các tổng cấp số nhân:
- $q^{12}=1,003^{12}\approx 1,0366001$, nên ${\sum }_{j=1}^{12}{q}^j=\frac{q^{12}-1}{q-1}=\frac{0,0366001}{0,003}\approx 12,200034$.
- $q^{24}={\left(q^{12}\right)}^2\approx 1,0745398$, nên ${\sum }_{j=1}^{24}{q}^j=\frac{0,0745398}{0,003}\approx 24,846590$.
- ${\sum }_{j=13}^{36}{q}^j=q^{12}{\sum }_{j=1}^{24}{q}^j\approx 1,0366001\times 24,846590\approx 25,755980$.

Do đó:
$$T\approx 1800000\times 25,755980+1980000\times 12,200034\approx 46360764+24156067\approx 70516831\text{ đ}.$$

**Kết luận:**
1. $u_{2026}=\frac{1}{2}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{2025}+\frac{1}{2027}$.
2. Sau 36 tháng, tổng số tiền người đó tiết kiệm được xấp xỉ $70516831$ đồng (khoảng $70,5$ triệu đồng).