Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $(E):\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$. Đường thẳng $(\Delta ):x-\sqrt{2}y=0$ cắt $(E)$ tại hai điểm $B,C$. Tìm điểm $A$ trên $(E)$ sao cho tam giác $ABC$ có diện tích lớn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Thế $y=\frac{x}{\sqrt{2}}$ vào $(E)$: $\frac{x^2}{8}+\frac{x^2}{8}=1\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$. Vậy $B(2;\sqrt{2})$, $C(-2;-\sqrt{2})$, độ dài $BC=\sqrt{16+8}=2\sqrt{6}$.

Diện tích $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot d(A,\Delta )$, nên $S$ lớn nhất khi khoảng cách từ $A$ đến $(\Delta ):x-\sqrt{2}y=0$ lớn nhất.

Viết $A(2\sqrt{2}\cos t;2\sin t)$. Khi đó
$$d(A,\Delta )=\frac{\left|2\sqrt{2}\cos t-2\sqrt{2}\sin t\right|}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\left|\cos \left(t+\frac{\pi }{4}\right)\right|}{\sqrt{3}}\le \frac{4}{\sqrt{3}}.$$

Dấu bằng khi $\cos \left(t+\frac{\pi }{4}\right)=\pm 1$, tức $t=-\frac{\pi }{4}$ hoặc $t=\frac{3\pi }{4}$, cho $A(2;-\sqrt{2})$ hoặc $A(-2;\sqrt{2})$.

Kiểm tra: hai điểm này thuộc $(E)$ vì $\frac{4}{8}+\frac{2}{4}=1$. Diện tích lớn nhất
$$S_{\max }=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{6}\cdot \frac{4}{\sqrt{3}}=4\sqrt{2}.$$

Kết luận: $A(2;-\sqrt{2})$ hoặc $A(-2;\sqrt{2})$, diện tích lớn nhất $S_{ABC}=4\sqrt{2}$.