Câu 4: (4,0 điểm)
Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^4+b^4+c^4=48$. Chứng minh bất đẳng thức sau:
$$\frac{1}{16-ab}+\frac{1}{16-bc}+\frac{1}{16-ca}\le \frac{1}{4}$$

(AI giải đề cho tôi)
Trước hết, theo AM-GM: $ab\le \sqrt{\frac{a^4+b^4}{2}}\le \sqrt{24}<16$, nên các mẫu $16-ab,16-bc,16-ca$ đều dương.

Bước 1: Bất đẳng thức phụ: với mọi $u$ với $0<u\le 8$ thì
2304 \le 192(16-u) + (2u^2-32)(16-u) = 2560 - 160u + 32u^2 - 2u^3,$
tức là
$$0\le 256-160u+32u^2-2u^3=-2(u-4{)}^2(u-8),$$
đúng khi $u\le 8$. Vậy bất đẳng thức phụ đúng (dấu bằng tại $u=4$ và $u=8$).

Bước 2: Áp dụng với $u=ab$. Vì ab \le \(\sqrt{24}\) < 8 nên
\frac{1}{16-ab} \le \frac{1}{12} + \frac{a^4+b^4-32}{2304}.$
Hoàn toàn tương tự:
\frac{1}{16-ab} + \frac{1}{16-bc} + \frac{1}{16-ca} \le \frac{3}{12} + \frac{2(a^4+b^4+c^4)-96}{2304} = \frac{1}{4} + \frac{2\cdot 48 - 96}{2304} = \frac{1}{4}.$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=2$ (khi đó $a^4+b^4+c^4=48$ và mỗi số hạng bằng $\frac{1}{12}$). Bất đẳng thức được chứng minh.