Câu 3 (5 điểm). Cho $n,a,b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $1<n^2<a<b<n^2+n+3$. Tìm tất cả các ước nguyên dương thuộc khoảng $\left(n^2;n^2+n+3\right)$ của tích $ab$.

Gọi $c$ là ước nguyên dương thuộc khoảng $\left(n^2;n^2+n+3\right)$ của tích $ab$.
*) $c=a$: thỏa mãn điều kiện bài toán.
*) $c=b$: thỏa mãn điều kiện bài toán.
Giả sử $c\ne a$, $c\ne b$. Ta sẽ chứng minh có điều vô lý.
Đặt $a=n^2+i$; $b=n^2+j$; $c=n^2+k$ $(1\le i,j,k\le n+2$, $k\ne i$, $k\ne j$ và $i<j)$.
Vì $n^2\equiv -k(\mathrm{mod}{n}^2+k)$ nên $ab=\left(n^2+i\right)\left(n^2+j\right)\equiv (i-k)(j-k)(\mathrm{mod}{n}^2+k)$.
Vì $c=n^2+k$ là ước của $ab$ nên $(i-k)(j-k)⋮\left(n^2+k\right)$.
Do $|i-k|\ge 1$, $|j-k|\ge 1$ nên $|i-k|\cdot |j-k|\ge n^2+k>n^2$.
• Xét $1\le i<j\le n+1$:
Nếu $1\le k\le n+1$ thì $1\le |i-k|\le n$, $1\le |j-k|\le n\Rightarrow |i-k|\cdot |j-k|\le n^2$. Điều này vô lý.
Nếu $k=n+2$:
+) Khi $2\le i<j\le n+1$ thì $|i-k|=n+2-i\le n$, $|j-k|=n+2-j\le n-1$
$\Rightarrow |i-k|\cdot |j-k|\le n(n-1)<n^2$. Điều này là vô lý.
+) Khi $i=1$ thì $|i-k|=n+2-1=n+1$.
Nếu $j\ge 3$ thì $|j-k|=n+2-j\le n-1\Rightarrow |i-k|\cdot |j-k|\le (n+1)(n-1)<n^2$. Điều này vô lý.
Nếu $j=2$ thì $|j-k|=n+2-j=n\Rightarrow |i-k|\cdot |j-k|=(n+1)n\nmid n^2+n+2$. Điều này vô lý.
• Xét $j=n+2$ :
Nếu $k\ge 2$ thì $|i-k|\le n+1-2=n-1$, $|j-k|=n+2-k\le n$
$\Rightarrow |i-k|\cdot |j-k|\le n(n-1)<n^2$. Điều này vô lý.
Nếu $k=1$ thì $|i-k|=i-1$, $|j-k|=n+1\Rightarrow |i-k|\cdot |j-k|=(i-1)(n+1)$.
Suy ra $(i-1)(n+1)\ge n^2+1\Rightarrow i=n+1$
$\Rightarrow n(n+1)\nmid n^2+1\Rightarrow n-1\nmid n^2+1\Rightarrow n-1\ge n^2+1$. Điều này vô lý.
Do đó không tồn tại ước nguyên dương $c\in \left(n^2;n^2+n+3\right)$ của tích $ab$ mà $c\ne a$, $c\ne b$.
Vậy tập hợp các ước của $ab$ thỏa mãn bài toán là $\{a;b\}$.