Câu 2 (7,0 điểm):

a) Tìm tất cả các số nguyên tố $p$, $q$ và số nguyên không âm $k$ thỏa mãn phương trình $p^2-q^2=2^k$.

b) Với $n\ge 3$ là một số nguyên và $k$ là một số nguyên không âm, chứng minh rằng không thể tồn tại các số nguyên tố $p$, $q$ thỏa mãn phương trình $p^n-q^n=2^k$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2.

a) Rõ ràng $p>q$, $p\ne q$ (nếu $p=q$ thì $2^k=0$ vô lý); $k=0$ cho $(p-q)(p+q)=1$ vô lý.

• Nếu $q=2$: $p^2-4=2^k\Rightarrow p^2=2^k+4$. Với $k\ge 3$, $p^2=4(2^{k-2}+1)$ nên $p$ chẵn, suy ra $p=2$, mâu thuẫn; kiểm tra $k=1,2$ ($p^2=6,8$) không chính phương. Không có nghiệm.

• Nếu $p,q$ đều lẻ: $p^2\equiv q^2\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ nên $8\mid 2^k$, tức $k\ge 3$. Viết
$$(p-q)(p+q)=2^k,\gcd (p-q,p+q)=\gcd (p-q,2q)=2$$
(vì $\gcd (p,q)=1$ và $p-q,p+q$ đều chẵn). Do đó $\frac{p-q}{2}$ và $\frac{p+q}{2}$ nguyên tố cùng nhau, tích bằng $2^{k-2}$, nên một thừa số bằng 1:
$$\frac{p-q}{2}=1\Rightarrow p=q+2,\frac{p+q}{2}=2^{k-2}.$$
Suy ra $2^k=p^2-q^2=4(q+1)\Rightarrow q+1=2^{k-2}$, tức $q=2^m-1$, $p=2^m+1$ với $m=k-2\ge 1$.

Nếu $2^m+1$ nguyên tố thì $m$ phải là lũy thừa của 2 (vì nếu $m$ có ước nguyên $t$ lẻ thì $2^t+1\mid 2^m+1$ và $1<2^t+1<2^m+1$). Nếu $2^m-1$ nguyên tố thì $m$ phải là số nguyên tố (vì nếu $m=ab$ với $a,b>1$ thì $2^a-1\mid 2^m-1$). Vậy $m$ vừa là lũy thừa của 2 vừa là số nguyên tố $\Rightarrow m=2$. Khi đó $q=3$, $p=5$, kiểm tra: $25-9=16=2^4$, thỏa mãn.

Vậy $(p,q,k)=(5,3,4)$ là nghiệm duy nhất.

b) Giả sử phản chứng tồn tại số nguyên tố $p,q$ và $k\ge 0$ với $p^n-q^n=2^k$, $n\ge 3$. Do $2^k>0$ nên $p>q$, $p\ne q$.

• Trường hợp $p,q$ đều lẻ: $p^n-q^n=(p-q)\left(p^{n-1}+p^{n-2}q+\cdots +q^{n-1}\right)$. Tổng $S=p^{n-1}+p^{n-2}q+\cdots +q^{n-1}$ là tổng của $n\ge 3$ số hạng lẻ nên $S$ lẻ và $S\ge n\ge 3>1$. Nhưng $p^n-q^n=2^k$ chỉ có ước nguyên tố là 2, mâu thuẫn với việc $S$ là ước lẻ lớn hơn 1 của $2^k$.

• Trường hợp $q=2$, $p$ lẻ: $p^n=2^k+2^n=2^{\min (k,n)}\left(1+2^{|n-k|}\right)$ (xét $k\ne n$; nếu $k=n$ thì $p^n=2^{n+1}$, không phải lũy thừa bậc $n$ của số nguyên tố lẻ). Nếu $k<n$: thừa số lẻ $1+2^{n-k}>1$ xuất hiện trong phân tích của $p^n$ – lũy thừa của số nguyên tố lẻ $p$, mâu thuẫn. Nếu $k>n$: $2^n\mid p^n$ nên $2\mid p$, mâu thuẫn với $p$ lẻ. Vậy vô nghiệm.

• Trường hợp $p=2$, $q$ lẻ: $2^n-q^n$ là hiệu của số chẵn và số lẻ nên lẻ, do đó $k=0$ và $2^n-q^n=1\Rightarrow q^n=2^n-1<2^n$. Nhưng $q\ge 3$ nên $q^n\ge 3^n>2^n$ với $n\ge 3$, mâu thuẫn.

Tất cả các trường hợp đều dẫn đến mâu thuẫn. Vậy với $n\ge 3$ không tồn tại các số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn $p^n-q^n=2^k$. $■$