Câu 1: Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh $a$. Biết $M$ là trung điểm của $AB$, $G$ là trọng tâm tam giác $ADM$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0),B(a;0),C(a;a),D(0;a)$, nên $M(a/2;0)$, trọng tâm $G$ của tam giác $ADM$ là $G(a/2;a/3)$.
a) $\overrightarrow{AC}=(a;a),\overrightarrow{BD}=(-a;a)$, cả hai đều có độ dài $a\sqrt{2}$ → đúng.
b) $\overrightarrow{DA}=(0;-a),\overrightarrow{DM}=(a/2;-a)$. Tích vô hướng $=a^2$, độ dài $|DA|=a,|DM|=\frac{a\sqrt{5}}{2}$, nên $\cos =\frac{a^2}{a\cdot a\sqrt{5}/2}=\frac{2}{\sqrt{5}}>0$ (hai vectơ cùng tạo góc nhọn tại $D$), không phải $-\frac{2}{\sqrt{5}}$ → sai.
c) $\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}=(-a;a)+(0;a)=(-a;2a)$; $\overrightarrow{AC}\cdot (\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC})=-a^2+2a^2=a^2$ → đúng.
d) $\overrightarrow{BG}=(-a/2;a/3)$, còn $\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}=(-a/2;0)+(-a/3;a/3)=(-5a/6;a/3)\ne \overrightarrow{BG}$ → sai. (Thực tế $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$ sai vì hoành độ $-5a/6\ne -a/2$.)
a) (AI giải đề cho tôi)
|AC|=|BD|=a√2 vì hai đường chéo hình vuông bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos(DA,DM)=2/√5 (dương), không phải −2/√5.
c) (AI giải đề cho tôi)
AC·(BD+BC)=(a;a)·(−a;2a)=−a²+2a²=a².
d) (AI giải đề cho tôi)
½BA+⅓BD=(−5a/6; a/3) ≠ BG=(−a/2; a/3).