Câu 1. (5,00 điểm) Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng
$$\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+8zx}}+\frac{z}{\sqrt{z^2+8xy}}\ge 1.$$

(AI giải đề cho tôi)
Cần chứng minh với mọi $x,y,z>0$:
$$S=\sum _{cyc}\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}}\ge 1.$$

**Bước 1.** Viết $S={\sum }_{cyc}\frac{x^2}{x\sqrt{x^2+8yz}}$. Theo Cauchy–Schwarz dạng Titu:
$$S\ge \frac{(x+y+z{)}^2}{x\sqrt{x^2+8yz}+y\sqrt{y^2+8zx}+z\sqrt{z^2+8xy}}.$$
Vậy chỉ cần chứng minh
$$\sum _{cyc}x\sqrt{x^2+8yz}\le (x+y+z{)}^2.\text{\hspace{1em}(1)}$$

**Bước 2.** Theo Cauchy–Schwarz:
$$\sum _{cyc}x\sqrt{x^2+8yz}\le \sqrt{(x+y+z)(x^3+y^3+z^3+24xyz)}.$$
Do đó (1) đúng nếu $x^3+y^3+z^3+24xyz\le (x+y+z{)}^3$. Mà
$$(x+y+z{)}^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x),$$
và vì $x,y,z>0$:
$$(x+y)(y+z)(z+x)\ge 2\sqrt{xy}\cdot 2\sqrt{yz}\cdot 2\sqrt{zx}=8xyz,$$S\ge $\frac{(x+y+z{)}^2}{(x+y+z{)}^2}$=1.$$
Dấu bằng khi $x=y=z$ (mỗi số hạng bằng $\frac{1}{3}$). Đpcm được chứng minh. Lưu ý: lời giải trên do AI biên soạn vì tài liệu gốc không có lời giải chi tiết.