Bài 7. (7,0 điểm)
Cho tam giác nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn , có ba đường cao đồng quy tại . Gọi là trọng tâm tam giác . Các đoạn thẳng theo thứ tự cắt đường tròn tại . Các đường tròn cắt lại đường tròn tại các điểm thứ hai tương ứng là .
a) Chứng minh rằng ba đường thẳng đồng quy tại một điểm trên đường thẳng .
b) Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ hai là ; đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ hai là . Đường tròn cắt lại các đường thẳng tại các điểm thứ hai tương ứng là . Chứng minh vuông góc với .
Bài 7. (7,0 điểm)
Cho tam giác nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn , có ba đường cao đồng quy tại . Gọi là trọng tâm tam giác . Các đoạn thẳng theo thứ tự cắt đường tròn tại . Các đường tròn cắt lại đường tròn tại các điểm thứ hai tương ứng là .
a) Chứng minh rằng ba đường thẳng đồng quy tại một điểm trên đường thẳng .
b) Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ hai là ; đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ hai là . Đường tròn cắt lại các đường thẳng tại các điểm thứ hai tương ứng là . Chứng minh vuông góc với .
Cho tam giác nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn , có ba đường cao đồng quy tại . Gọi là trọng tâm tam giác . Các đoạn thẳng theo thứ tự cắt đường tròn tại . Các đường tròn cắt lại đường tròn tại các điểm thứ hai tương ứng là .
a) Chứng minh rằng ba đường thẳng đồng quy tại một điểm trên đường thẳng .
b) Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ hai là ; đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ hai là . Đường tròn cắt lại các đường thẳng tại các điểm thứ hai tương ứng là . Chứng minh vuông góc với .
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
a) Gọi là trung điểm , là trung điểm là đường kính của và .
Gọi là hình chiếu của trên , gọi là giao điểm của và .
Ta có nội tiếp.
nội tiếp trùng .
Tương tự ta có đi qua các chân hình chiếu từ xuống lần lượt là .
Ta thấy và có các cạnh tương ứng song song nên đồng quy tại tâm vị tự hai tam giác mà là tâm và là tâm đồng quy trên .
b) Ta có và .
Gọi cắt tại , cắt tại ta có ngay và .
là trục đẳng phương của và .
Lại có .
Tương tự ta cũng có .
nội tiếp mà .
Gọi là hình chiếu của trên , gọi là giao điểm của và .
Ta có nội tiếp.
nội tiếp trùng .
Tương tự ta có đi qua các chân hình chiếu từ xuống lần lượt là .
Ta thấy và có các cạnh tương ứng song song nên đồng quy tại tâm vị tự hai tam giác mà là tâm và là tâm đồng quy trên .
b) Ta có và .
Gọi cắt tại , cắt tại ta có ngay và .
là trục đẳng phương của và .
Lại có .
Tương tự ta cũng có .
nội tiếp mà .