Đề Chọn Đội Tuyển HSG Quốc Gia THPT 2026-2027, Sở GD&ĐT Tỉnh Ninh Bình - Môn Toán (Ngày 1 và Ngày 2)

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $$\{\begin{array}{l}{x}_1=1\\ x_{n+1}=\left(n^2+1\right).x_1{x}_2\dots x_n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.\end{array}$$

Với mỗi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, đặt $y_n=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}$.

a) Chứng minh rằng $x_n\ge 2^{n-1}$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và dãy số $(y_n)$ có giới hạn hữu hạn.

b) Chứng minh rằng $\underset{n\to +\infty }{\lim }{y}_n$ là một số vô tỉ.

Cho $n$ là một số nguyên dương lẻ. Xét các hàm $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $$f(x)f(y+x)=x^{n}f(f(y))+{\left(f(x)\right)}^2,\forall x,y\in \mathbb{R}(1).$$

a) Giả sử $f$ không là hàm hằng. Chứng minh rằng:

i) $f(x)=0$ khi và chỉ khi $x=0$.

ii) $f$ là một đơn ánh.

b) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thoả mãn (1).

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, có đường cao $AH$. Gọi $X,Y$ là hai điểm phân biệt thay đổi trên cạnh $BC$ sao cho $\widehat{CAX}=\widehat{BAY}$; $K,S$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $B$ lên $AX,AY$; $T,L$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $C$ lên $AX,AY$.

a) Chứng minh rằng ba đường thẳng $AH,TL,SK$ đồng quy.

b) Chứng minh rằng giao điểm của $KL$ và $ST$ thuộc một đường thẳng cố định khi $X,Y$ thay đổi trên cạnh $BC$.

Cho các số nguyên dương $m,n$. Xét một bảng ô vuông kích thước $3m\times 6n$ (gồm $3m$ hàng và $6n$ cột). Trên bảng đó một số ô có màu trắng và các ô còn lại màu đỏ. Gọi $T$ là số bộ ba $(C_1,C_2,C_3)$ gồm các ô, trọng đó hai ô đầu tiên nằm trên cùng một hàng và hai ô cuối cùng nằm trên cùng một cột, với $C_1$ và $C_3$ là ô trắng còn $C_2$ là ô đỏ. Tìm giá trị lớn nhất của $T$.

Bài 5. (6,0 điểm)

Cho số nguyên dương $n$. Xét các số thực $x_1,x_2,...,x_n$ thoả mãn $|x_i|\le 1,\forall i=1,2,...,n$; và $x_1+x_2+...+x_n=0$. Với mỗi $k\in \{1,2,...,n\}$, đặt $S_k=x_1+2x_2+...+k{x}_k$.

a) Chứng minh rằng tồn tại các số $p,q\in \{1,2,...,n\}$ (không nhất thiết phân biệt) sao cho $S_p\le 0$ và $|S_q|\le \frac{2q+1}{4}$.

b) Khi $n\ge 3$, chứng minh rằng tồn tại các số thực $x_1,x_2,...,x_n$ thỏa mãn các điều kiện của bài toán sao cho với mọi $k\in \{1,2,...,n\}$ ta đều có $|S_k|\ge \frac{2k+1}{4}$.

Bài 6. (7,0 điểm)

a) Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $\sigma (n)$ là tổng các ước dương của $n$. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $n$ là ước của $2^{\sigma (n)}-1$.

b) Cho dãy số nguyên dương $(a_n{)}_{n\ge 1}$ và dãy các số nguyên tố $(p_n{)}_{n\ge 1}$ thoả mãn với mỗi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ta có $p_n\mid a_n$ và $a_{n+1}=\frac{a_n}{p_n}\left(p_n^{1013}-1\right)$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $m$ sao cho $a_m$ chia hết cho 2026.

Bài 7. (7,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$, có ba đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Các đoạn thẳng $AG,BG,CG$ theo thứ tự cắt đường tròn $(DEF)$ tại $I,J,K$. Các đường tròn $(AID),(BJE),(CKF)$ cắt lại đường tròn $(O)$ tại các điểm thứ hai tương ứng là $X,Y,Z$.

a) Chứng minh rằng ba đường thẳng $AX,BY,CZ$ đồng quy tại một điểm trên đường thẳng $OH$.

b) Đường thẳng $AC$ cắt đường tròn $(AHB)$ tại điểm thứ hai là $N$; đường thẳng $AB$ cắt đường tròn $(AHC)$ tại điểm thứ hai là $M$. Đường tròn $(HMN)$ cắt lại các đường thẳng $AB,AC$ tại các điểm thứ hai tương ứng là $S,T$. Chứng minh $ST$ vuông góc với $OH$.